题目

单选题 (共10题,50.0分)-|||-20.(5.0分)-|||-设ξ1和ξ2为齐次线性方程组 Ax=0 的解,M1和y2为非齐次线性方程组 Ax=b 的解,-|||-k1,k2为非零常数,则以下正确的是 () .-|||-A ._(1)(xi )_(1)+(k)_(2)(xi )_(2) 是 Ax=0 的解-|||-B ._(1)(xi )_(1)+(k)_(2)(j)_(2) 是 Ax=0 的解-|||-C-|||-._(1)+(H)_(2) 是 Ax=b 的解-|||-D ._(1)(xi )_(1)+(k)_(2)(j)_(2) 是 Ax=b 的解

题目解答

答案

由于ξ1和ξ2为齐次线性方程组 Ax=0 的解，故ξ1和ξ2满足Ax=0，即 Aξ1=0，Aξ2=0.因为k1和k2为非零常数，所以A(k1ξ1+k2ξ2)=k1Aξ1+k2Aξ2=0，故k1ξ1+k2ξ2是 Ax=0 的解，故A正确.由于y1和v2为非齐次线性方程组 Ax=b 的解，故Ay1=b，Av2=b，因此A(y1+v2)=Ay1+Av2=b+b=2b，故y1+v2是 Ax=2b 的解，但不是 Ax=b 的解，故C错误.由于y1和v2为非齐次线性方程组 Ax=b 的解，故Ay1=b，Av2=b，因此A(k1y1+k2v2)=k1Ay1+k2Av2=k1b+k2b=(k1+k2)b，故k1y1+k2v2是 Ax=(k1+k2)b 的解，但不是 Ax=b 的解，故D错误.
A

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的性质，特别是解的线性组合是否仍为原方程组的解。

解题核心思路：

  1. 齐次方程组的解空间：若$\xi_1, \xi_2$是齐次方程组$Ax=0$的解，则任意线性组合$k_1\xi_1 + k_2\xi_2$仍为齐次方程组的解。
  2. 非齐次方程组的解性质：若$y_1, y_2$是非齐次方程组$Ax=b$的解，则：
    • 非齐次解的和：$y_1 + y_2$是$Ax=2b$的解，而非$Ax=b$的解。
    • 非齐次解与齐次解的组合：$k_1\xi_1 + k_2y_2$的线性组合需满足特定条件才能成为$Ax=b$的解。

破题关键：明确区分齐次与非齐次方程组解的封闭性差异，通过代数运算验证各选项是否满足方程。

选项A：$k_1\xi_1 + k_2\xi_2$是$Ax=0$的解

分析：
齐次方程组的解空间对线性组合封闭。
验证：
$A(k_1\xi_1 + k_2\xi_2) = k_1A\xi_1 + k_2A\xi_2 = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot 0 = 0$
结论：正确。

选项B：$k_1\xi_1 + k_2j_2$是$Ax=0$的解

分析：
题目中非齐次方程组的解为$y_2$，若$j_2$为笔误（应为$y_2$），则：
$A(k_1\xi_1 + k_2y_2) = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot b = k_2b \neq 0$
结论：错误。

选项C：$y_1 + y_2$是$Ax=b$的解

分析：
非齐次方程组的解不封闭于加法。
验证：
$A(y_1 + y_2) = Ay_1 + Ay_2 = b + b = 2b \neq b$
结论：错误。

选项D：$k_1\xi_1 + k_2y_2$是$Ax=b$的解

分析：
非齐次方程组的解与齐次解的组合需满足特定系数。
验证：
$A(k_1\xi_1 + k_2y_2) = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot b = k_2b$
仅当$k_2=1$且$k_1=0$时成立，但$k_1, k_2$为非零常数，故不成立。
结论：错误。