不会进行x趋近于0负的求导72.设 f(x)= cdot sin dfrac {1)(x),xlt 0 1-cos sqrt (x),xgeqslant 0 . 则f(x)在 x=0 处 () .-|||-则-|||-(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续-|||-(C)连续但不可导 (D)可导

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，涉及极限计算、等价无穷小替换、导数定义的应用。

解题核心思路：

1. 连续性判断：分别计算左极限和右极限，验证是否等于函数值$f(0)$。
2. 可导性判断：分别计算左导数和右导数，验证是否相等。

破题关键点：

• 左极限计算：利用等价无穷小$\ln(1-u) \approx -u$（当$u \to 0$），将分子化简后结合有界函数$\sin(1/x)$的性质。
• 右极限计算：利用泰勒展开$1-\cos\sqrt{x} \approx \frac{x}{2}$。
• 导数计算：严格应用导数定义，注意左右导数的独立计算。

连续性分析

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$f(x) = \dfrac{\ln(1-x^3)}{x} \cdot \sin \dfrac{1}{x}$。
利用等价无穷小$\ln(1-x^3) \approx -x^3$，得：
$\lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x^3}{x} \cdot \sin \dfrac{1}{x} = \lim_{x \to 0} -x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x} = 0$

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$f(x) = 1 - \cos\sqrt{x}$。
利用泰勒展开$\cos\sqrt{x} \approx 1 - \dfrac{x}{2}$，得：
$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \left(1 - \dfrac{x}{2}\right)\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{2} = 0$

函数值$f(0)$

由定义$f(0) = 1 - \cos 0 = 0$。
结论：左右极限均为$0$，且等于$f(0)$，故$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性分析

左导数（$f'_-(0)$）

根据导数定义：
$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\ln(1-x^3)}{x^2} \cdot \sin \dfrac{1}{x}$
利用$\ln(1-x^3) \approx -x^3$，化简得：
$\lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x^3}{x^2} \cdot \sin \dfrac{1}{x} = \lim_{x \to 0} -x \cdot \sin \dfrac{1}{x} = 0$

右导数（$f'_+(0)$）

根据导数定义：
$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1 - \cos\sqrt{x}}{x}$
利用泰勒展开$1 - \cos\sqrt{x} \approx \dfrac{x}{2}$，得：
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x/2}{x} = \dfrac{1}{2}$

结论：左导数$f'_-(0) = 0$，右导数$f'_+(0) = \dfrac{1}{2}$，两者不相等，故$f(x)$在$x=0$处不可导。