题目

29 设两个相互独立的事件A，B都不发生的概率为(1)/(9)，A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等，求P(A).

29 设两个相互独立的事件A，B都不发生的概率为$\frac{1}{9}$，A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等，求P(A).

题目解答

答案

设 $ P(A) = p $，$ P(B) = q $。由题意得： 1. 两事件都不发生的概率： \[ (1-p)(1-q) = \frac{1}{9} \] 2. 概率相等： \[ p(1-q) = q(1-p) \implies p = q \] 将 $ q = p $ 代入第一个方程： \[ (1-p)^2 = \frac{1}{9} \implies 1-p = \pm \frac{1}{3} \] 取 $ 1-p = \frac{1}{3} $（因概率范围为 $[0,1]$），解得： \[ p = \frac{2}{3} \] **答案：** $\boxed{\frac{2}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，涉及事件独立性的性质及方程求解能力。

解题核心思路：

  1. 利用独立事件的性质：若事件A、B独立，则它们的补事件也独立，即$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = (1-P(A))(1-P(B))$。
  2. 建立方程：根据题目中两个条件，分别列出关于$P(A)$和$P(B)$的方程。
  3. 联立方程求解：通过方程联立，消元求出$P(A)$的值。

破题关键点：

  • 抓住“概率相等”的条件，推导出$P(A) = P(B)$，简化方程。
  • 注意概率的取值范围，排除不合理解。

设$P(A) = p$，$P(B) = q$。根据题意：

  1. 两事件都不发生的概率：
    $(1-p)(1-q) = \frac{1}{9}$

  2. 概率相等条件：
    $p(1-q) = q(1-p)$
    展开后化简得：
    $p = q$

将$q = p$代入第一个方程：
$(1-p)^2 = \frac{1}{9}$
解得：
$1-p = \frac{1}{3} \quad \text{（舍去负根）}$
因此：
$p = \frac{2}{3}$