1.下列函数在其定义域内连续的是（）。A. f(x)=ln x+sin xB. f(x)=}sin x,xleq0, cos x,x>0

考查要点：本题主要考查函数连续性的判断，特别是分段函数在分段点处的连续性。

解题核心思路：

1. 明确函数定义域：注意各选项中函数的定义域限制（如$\ln x$要求$x>0$）。
2. 判断分段点处连续性：对于分段函数，需检查分段点处的左右极限是否相等且等于函数值。
3. 基本函数连续性：如$\ln x$、$\sin x$、$\cos x$在其定义域内连续，但分段函数可能因分段点处不连续而整体不连续。

破题关键点：

• 选项A：$\ln x$和$\sin x$在定义域内连续，和函数也连续。
• 选项B、C、D：需分别验证分段点$x=0$处的左右极限是否等于函数值，若不相等则不连续。

选项A：$f(x)=\ln x+\sin x$

1. 定义域：$\ln x$要求$x>0$，$\sin x$对$x$无限制，故定义域为$x>0$。
2. 连续性：$\ln x$和$\sin x$在定义域内均连续，和函数连续，因此$f(x)$在定义域内连续。

选项B：分段函数$f(x)=\begin{cases}\sin x, & x\leq0, \\ \cos x, & x>0\end{cases}$

1. 分段点$x=0$处：
   • 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \sin x = \sin 0 = 0$。
   • 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos 0 = 1$。
   • 函数值：$f(0) = \sin 0 = 0$。
2. 结论：左右极限不相等（$0 \neq 1$），在$x=0$处不连续。

选项C：分段函数$f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0, \\ 0, & x=0, \\ x-1, & x>0\end{cases}$

1. 分段点$x=0$处：
   • 左极限：$\lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0 + 1 = 1$。
   • 右极限：$\lim_{x \to 0^+} (x-1) = 0 - 1 = -1$。
   • 函数值：$f(0) = 0$。
2. 结论：左右极限不相等（$1 \neq -1$），且均不等于$f(0)=0$，在$x=0$处不连续。

选项D：分段函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{|x|}}, & x\neq0, \\ 0, & x=0\end{cases}$

1. 分段点$x=0$处：
   • 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sqrt{-x}} = +\infty$。
   • 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$。
   • 函数值：$f(0) = 0$。
2. 结论：极限不存在（趋向无穷），在$x=0$处不连续。