题目
设f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100)，则f'(0)=_____。
设$$f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100)$$，则$$f'(0)=$$_____。
题目解答
答案
$$100！$$
解析
步骤 1：定义函数
给定函数$$f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100)$$，这是一个多项式函数，其中每一项都是$$x$$加上一个常数。
步骤 2：求导
为了求$$f'(x)$$，我们需要对$$f(x)$$进行求导。根据乘积法则，如果$$f(x) = g(x)h(x)$$，则$$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$。由于$$f(x)$$是多个函数的乘积，我们可以使用乘积法则的推广形式，即对每个因子求导，然后乘以剩余因子的乘积。
步骤 3：计算$$f'(0)$$
为了计算$$f'(0)$$，我们注意到在$$x=0$$时，$$f(x)$$中的每个因子都变成了常数，除了第一个因子$$x$$。因此，$$f'(0)$$将等于所有常数因子的乘积，即$$1 \times 2 \times 3 \times ... \times 100$$，这正是$$100!$$（100的阶乘）。
给定函数$$f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100)$$，这是一个多项式函数，其中每一项都是$$x$$加上一个常数。
步骤 2：求导
为了求$$f'(x)$$，我们需要对$$f(x)$$进行求导。根据乘积法则，如果$$f(x) = g(x)h(x)$$，则$$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$。由于$$f(x)$$是多个函数的乘积，我们可以使用乘积法则的推广形式，即对每个因子求导，然后乘以剩余因子的乘积。
步骤 3：计算$$f'(0)$$
为了计算$$f'(0)$$，我们注意到在$$x=0$$时，$$f(x)$$中的每个因子都变成了常数，除了第一个因子$$x$$。因此，$$f'(0)$$将等于所有常数因子的乘积，即$$1 \times 2 \times 3 \times ... \times 100$$，这正是$$100!$$（100的阶乘）。