设 mathbf(V)^n 的两个基分别为 alpha_1, alpha_2, ..., alpha_n 和 beta_1, beta_2, ..., beta_n，从基 alpha 到基 beta 的过渡矩阵为 C，则以下哪些说法正确？A. (beta_1, beta_2, ..., beta_n)= (alpha_1, alpha_2, ..., alpha_n)CB. C 是可逆矩阵C. C 的行列式不为零D. C 的秩为 n

本题主要考查线性空间中基变换的过渡矩阵的相关知识，解题思路是依据过渡矩阵的定义、可逆矩阵的判定条件、行列式与矩阵秩的性质来逐一分析每个选项。

选项A

根据过渡矩阵的定义，设从基$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$到基$\beta = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)$的过渡矩阵为$C=(c_{ij})_{n\times n}$，则有：
$\beta_i = \sum_{j = 1}^{n}c_{ji}\alpha_j$，$i = 1,2,\cdots,n$
将其写成矩阵形式就是$(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)= (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)C$，所以选项A正确。

选项B

因为$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$和$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$都是$\mathbf{V}^n$的基，所以它们都是线性无关的。
由$(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)= (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)C$可知，若存在一组数$x_1,x_2,\cdots,x_n$使得$(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=0$，即$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)C\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=0$。
由于$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$线性无关，所以$C\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=0$只有零解，这说明$C$的列向量组线性无关，即$C$是可逆矩阵，所以选项B正确。

选项C

根据可逆矩阵的性质，一个$n$阶矩阵可逆的充要条件是它的行列式不为零。
因为选项B已证明$C$是可逆矩阵，所以$\vert C\vert\neq 0$，即$C$的行列式不为零，选项C正确。

选项D

对于一个$n$阶矩阵，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。
由于选项B已证明$C$是可逆矩阵，所以$r(C)=n$，即$C$的秩为$n$，选项D正确。