[题目]若函数f (x)满足方程 (x)+f(x)-2f(x)=0 及-|||-'(x)+f(x)=2(e)^x, 则 f(x)= __-|||-_

考查要点：本题主要考查二阶线性常系数齐次微分方程的解法，以及利用已知条件确定特解的能力。
解题思路：

1. 识别方程类型：第一个方程为二阶齐次微分方程，需通过特征方程法求通解。
2. 构造通解：根据特征根写出通解形式。
3. 代入条件求特解：将通解代入第二个方程，通过系数比较确定通解中的常数。

破题关键：

• 正确写出特征方程：由微分方程形式推导特征方程。
• 代入条件时的代数运算：确保代入后方程两边的指数项系数对应正确。

步骤1：解二阶齐次方程

原方程为 $f''(x) + f'(x) - 2f(x) = 0$，其特征方程为：
$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$
解得特征根：
$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -2$
因此，通解为：
$f(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$

步骤2：代入第二个方程求特解

将通解代入 $f'(x) + f(x) = 2e^{x}$：

1. 求导：
   $f'(x) = C_1 e^{x} - 2C_2 e^{-2x}$
2. 代入方程：
   $f'(x) + f(x) = (C_1 e^{x} - 2C_2 e^{-2x}) + (C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}) = 2C_1 e^{x} - C_2 e^{-2x}$
3. 比较系数：
   等式左边应等于 $2e^{x}$，因此：
   $\begin{cases} 2C_1 = 2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 \\ -C_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0 \end{cases}$

步骤3：写出特解

将 $C_1 = 1$ 和 $C_2 = 0$ 代入通解，得：
$f(x) = e^{x}$