题目

求极限lim_(xto0)(ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2))/(x^4).

求极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^{2})}{x^{4}}.$

题目解答

答案

利用泰勒展开式，有： \[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5) \] \[ \ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5) \] \[ \ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \] 计算 $\ln(1+x)\ln(1-x)$ 并保留至 $x^4$ 项： \[ \ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5) \] 则： \[ \ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) = \frac{x^4}{12} + O(x^5) \] 因此，极限为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + O(x^5)}{x^4} = \frac{1}{12} \] 答案：$\boxed{\frac{1}{12}}$

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，特别是处理复杂分式极限时的展开技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致$\frac{0}{0}$型不定式时，展开分子中的各对数函数至足够阶数，通过多项式运算化简分子，最终与分母比较主部求得极限。

破题关键点：

  1. 泰勒展开：分别对$\ln(1+x)$、$\ln(1-x)$、$\ln(1-x^2)$展开至$x^4$项；
  2. 乘积展开：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$时，需保留到$x^4$项；
  3. 分子化简：通过展开式相减消去低阶项，提取$x^4$项的系数；
  4. 极限计算：分子主部与分母$x^4$的比值即为所求极限。

步骤1：展开各对数函数
根据泰勒公式，展开至$x^4$项：
$\begin{aligned}\ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5), \\\ln(1-x) &= -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5), \\\ln(1-x^2) &= -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6).\end{aligned}$

步骤2：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$
将前两个展开式相乘，保留至$x^4$项：
$\begin{aligned}\ln(1+x)\ln(1-x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right) \\&= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5).\end{aligned}$

步骤3：化简分子
分子为$\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2)$，代入展开式：
$\begin{aligned}&\left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right) \\&= \left(-x^2 + x^2\right) + \left(-\frac{5x^4}{12} + \frac{x^4}{2}\right) \\&= \frac{x^4}{12} + O(x^5).\end{aligned}$

步骤4：求极限
分子主部为$\frac{x^4}{12}$，分母为$x^4$，故极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + O(x^5)}{x^4} = \frac{1}{12}.$