设a为可逆矩阵A的特征向量，则A^-1的特征向量为a，P^-1AP的特征向量为P^-1α.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查矩阵的特征向量在逆矩阵和相似变换下的变化规律。

解题核心思路：

1. 逆矩阵的特征向量：若$\alpha$是$A$的特征向量，对应特征值$\lambda$，则通过等式变形可推导出$A^{-1}\alpha$的表达式，从而确定其特征向量。
2. 相似矩阵的特征向量：利用相似变换$P^{-1}AP$与原矩阵$A$的特征向量关系，通过代入验证的方式确定新特征向量的形式。

破题关键点：

• 逆矩阵的特征值与特征向量关系：若$A\alpha = \lambda \alpha$，则$A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda} \alpha$，特征向量不变。
• 相似变换对特征向量的影响：若$A\alpha = \lambda \alpha$，则$P^{-1}AP \cdot (P^{-1}\alpha) = \lambda (P^{-1}\alpha)$，特征向量变为$P^{-1}\alpha$。

逆矩阵$A^{-1}$的特征向量

1. 已知条件：$\alpha$是$A$的特征向量，即$A\alpha = \lambda \alpha$（$\lambda \neq 0$，因$A$可逆）。
2. 推导过程：
   • 左乘$A^{-1}$得：
     $A^{-1}A\alpha = A^{-1}(\lambda \alpha)$
   • 化简左边得：
     $\alpha = \lambda A^{-1}\alpha$
   • 整理得：
     $A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda} \alpha$
3. 结论：$\alpha$仍是$A^{-1}$的特征向量，对应特征值$\frac{1}{\lambda}$。

相似矩阵$P^{-1}AP$的特征向量

1. 已知条件：$A\alpha = \lambda \alpha$。
2. 推导过程：
   • 对$P^{-1}AP$作用于$P^{-1}\alpha$：
     $(P^{-1}AP)(P^{-1}\alpha) = P^{-1}A\alpha$
   • 代入$A\alpha = \lambda \alpha$得：
     $P^{-1}A\alpha = P^{-1}(\lambda \alpha) = \lambda P^{-1}\alpha$
3. 结论：$P^{-1}\alpha$是$P^{-1}AP$的特征向量，对应特征值$\lambda$。