设函数y(x)是微分方程 '-xy=dfrac (1)(2sqrt {x)}(e)^dfrac ({x^2)(2)} 满足条件 (1)=sqrt (e) 的特解.-|||-(1)求y(x);-|||-(2)设平面区域 = (x,y)|1leqslant xleqslant 2,0leqslant yleqslant y(x) , 求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.

考查要点：本题分为两小问，第一问考查一阶线性微分方程的解法，第二问考查旋转体体积的计算。

解题思路：

1. 第一问：将微分方程整理为标准形式，利用积分因子法求通解，再代入初始条件确定特解。
2. 第二问：利用旋转体体积公式，将问题转化为定积分计算，通过换元法求解积分。

破题关键：

• 积分因子的正确计算：确定积分因子后，方程可转化为全微分形式。
• 积分技巧：第二问中通过变量代换简化积分过程。

第（1）题

整理方程为标准形式

原方程：
$y' - x y = \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$
改写为：
$y' + (-x) y = \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$

计算积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int -x \, dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$

方程两边同乘积分因子

$e^{-\frac{x^2}{2}} y' - x e^{-\frac{x^2}{2}} y = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
左边为：
$\frac{d}{dx} \left( y e^{-\frac{x^2}{2}} \right)$

积分求解

积分得：
$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx + C = \sqrt{x} + C$
因此通解为：
$y(x) = e^{\frac{x^2}{2}} (\sqrt{x} + C)$

代入初始条件

当 $x=1$ 时，$y(1) = \sqrt{e}$，代入得：
$\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}} (1 + C) \implies C = 0$
故特解为：
$y(x) = \sqrt{x} \, e^{\frac{x^2}{2}}$

第（2）题

旋转体体积公式

体积公式为：
$V = \pi \int_{1}^{2} [y(x)]^2 \, dx$

代入特解并化简

$[y(x)]^2 = x e^{x^2}$
积分变为：
$V = \pi \int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx$

换元积分

令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，积分限变为 $u=1$ 到 $u=4$：
$V = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{4} e^u \, du = \frac{\pi}{2} \left( e^4 - e \right)$