7、单选 设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则下列结论正确的是（）A. PX=3=(4)/(3)e^-2,PXgeq2=1-2e^-2B. PX=3=(2)/(3)e^-2,PXgeq2=1-2e^-2C. PX=3=(2)/(3)e^-2,PXgeq2=1-3e^-2D. PX=3=(4)/(3)e^-2,PXgeq2=1-3e^-2

本题考查泊松分布分布的概率计算公式。解题思路是先根据已知条件$P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$求出泊松分布的概率公式求出参数$\lambda$的值，再分别计算$P\{X = 3\}$和\\(这里应该是笔误，推测是$P\{X\geq2\}$)的值。

步骤一：根据已知条件求出参数$\lambda$的值

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$。
已知$P\{X = 1\} = P\{X = 2$，将其代入概率函数可得：
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda \lambda^2}{2!}$
因为$e^{-\lambda}\neq0$，等式两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$。
移项可得$\lambda^2 - 2\lambda = 0$，提取公因式$\lambda$得到$\lambda(\lambda - 2) = 0$，解得$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。
由于泊松分布中$\lambda>0$，所以$\lambda = 2$。

步骤二：计算$P\{X = 3\}$的值

将$\lambda = 2$，$k = 3$代入泊松分布的概率函数$P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，可得：
$P\{X = 3\} = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{43e^{-2}$

步骤三：计算$P\{X\geq2\}$

根据概率的性质$P\{X\geq2\} = 1 - P\{X < 2\} = 1 - P\{X = 0\} - P\{X = 1$。
分别计算$P\{X = 0\}$和$P\{X = 1\}$：

• $P\{X = 0\} = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2$
• $P\{X = 1\} = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2}$

将$P\{X = 0\}$和$P\{X = 1\}$的值代入$P\{X\geq2\} = 1 - P\{X = 0\} - P\{X = 1\}$，可得：
$P\{X\geq2\} = 1 - e^{-2} - 2e^{-2} = 1 - 3e^{-2}$