题目
(1)设曲面Z是上半球面: ^2+(y)^2+(z)^2=(R)^2(zgeqslant 0), 若Z1是∑在第一卦限部分,则有-|||-() ;-|||-(A) J xdS=4 xds (B) ydS=4 xds-|||-2-|||-(C) zdS=4 ds (D) J xyzdS= 4 xyzds-|||-2
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析曲面∑的对称性
曲面∑是上半球面，其方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$，且 $z\geqslant 0$。该曲面关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，即关于 $y$ 和 $z$ 轴对称。
步骤 2：分析选项A
选项A表示 $\int_{\Sigma} x dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$，其中 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在第一卦限的部分。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面对称，被积函数 $x$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} x dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$x$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} x dS > 0$，因此选项A不成立。
步骤 3：分析选项B
选项B表示 $\int_{\Sigma} y dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $zOx$ 面对称，被积函数 $y$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} y dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$x$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} x dS > 0$，因此选项B不成立。
步骤 4：分析选项C
选项C表示 $\int_{\Sigma} z dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，被积函数 $z$ 是偶函数，因此 $\int_{\Sigma} z dS = 4 \int_{\Sigma_1} z dS$。而在 $\Sigma_1$ 上，$z$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} z dS > 0$，因此选项C成立。
步骤 5：分析选项D
选项D表示 $\int_{\Sigma} xyz dS = 4 \int_{\Sigma_1} xyz dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，被积函数 $xyz$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} xyz dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$xyz$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} xyz dS > 0$，因此选项D不成立。
曲面∑是上半球面，其方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$，且 $z\geqslant 0$。该曲面关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，即关于 $y$ 和 $z$ 轴对称。
步骤 2：分析选项A
选项A表示 $\int_{\Sigma} x dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$，其中 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在第一卦限的部分。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面对称，被积函数 $x$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} x dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$x$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} x dS > 0$，因此选项A不成立。
步骤 3：分析选项B
选项B表示 $\int_{\Sigma} y dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $zOx$ 面对称，被积函数 $y$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} y dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$x$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} x dS > 0$，因此选项B不成立。
步骤 4：分析选项C
选项C表示 $\int_{\Sigma} z dS = 4 \int_{\Sigma_1} x dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，被积函数 $z$ 是偶函数，因此 $\int_{\Sigma} z dS = 4 \int_{\Sigma_1} z dS$。而在 $\Sigma_1$ 上，$z$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} z dS > 0$，因此选项C成立。
步骤 5：分析选项D
选项D表示 $\int_{\Sigma} xyz dS = 4 \int_{\Sigma_1} xyz dS$。由于 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面和 $zOx$ 面对称，被积函数 $xyz$ 是奇函数，因此 $\int_{\Sigma} xyz dS = 0$。而在 $\Sigma_1$ 上，$xyz$ 连续大于零，所以 $\int_{\Sigma_1} xyz dS > 0$，因此选项D不成立。