题目
1. 求下列微分方程的通解: (1) xy'-yln y=0; (3) sqrt(1-x^2)y'=sqrt(1-y^2); (5) sec^2xtan ydx+sec^2ytan xdy=0; (7) (e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0; (9) (y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0;
1. 求下列微分方程的通解:
(1) $xy'-y\ln y=0$;
(3) $\sqrt{1-x^{2}}y'=\sqrt{1-y^{2}}$;
(5) $\sec^{2}x\tan ydx+\sec^{2}y\tan xdy=0$;
(7) $(e^{x+y}-e^{x})dx+(e^{x+y}+e^{y})dy=0$;
(9) $(y+1)^{2}\frac{dy}{dx}+x^{3}=0$;
题目解答
答案
1. 分离变量得 $\frac{y'}{y\ln y} = \frac{1}{x}$，积分后得 $y = e^{Cx}$。
2. 分离变量得 $\frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，积分后得 $\arcsin y = \arcsin x + C$。
3. 分离变量得 $\frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y}dy$，积分后得 $\tan x \tan y = C$。
4. 分离变量得 $\frac{e^x}{e^x+1}dx + \frac{e^y}{e^y-1}dy = 0$，积分后得 $(e^x+1)(e^y-1) = C$。
5. 分离变量得 $(y+1)^2dy = -x^3dx$，积分后得 $4(y+1)^3 + 3x^4 = C$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & y = e^{Cx} \\
3. & \arcsin y = \arcsin x + C \\
5. & \tan x \tan y = C \\
7. & (e^x + 1)(e^y - 1) = C \\
9. & 4(y+1)^3 + 3x^4 = C \\
\end{array}
}
\]