题目
求坐标原点到曲线C: ) (x)^2+(y)^2-(z)^2=1 2x-y-z=1 .的最短距离。
求坐标原点到曲线
的最短距离。
题目解答
答案
解 设曲线C上点
到坐标原点的距离为d,令
,约束条件
,
用拉格朗日乘子法,令
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
首先,由(1),(2)可见,如果取
,则
,由(3)可知
,再由(4),(5)得
解得 
这样得到两个驻点
其次,如果取
,由(3)得,再由(1)(2)得
这样(4)成为
,是矛盾的,所以这种情形设有驻点。
最后,讨论
情形,由(1),(2),(3)可得
代入(4),(5)消去
得
此方程无解,所以这种情形也没有驻点。
综合上面讨论,可知只有两个驻点,它们到坐标原点的距离都等于1,由实际问题一定有最短距离,所以最短距离为1。
解析
步骤 1：定义目标函数和约束条件
设曲线C上点(x,y,z)到坐标原点的距离为d,令$W={d}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$,约束条件${x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1=0$,2x-y-z-1=0用拉格朗日乘子法,令$F=F(x,y,z,\lambda ,\mu )=({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1)+\mu (2x-y-z-1)$
步骤 2：求偏导数
${F}_{x}'=2x+2\lambda x+2\mu =0$ (1)
${F}_{y}'=2y+2\lambda y-\mu =0$ (2)
${F}_{z}'=2z-2\lambda z-\mu =0$ (3)
${F}_{\lambda }'={x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1=0$ (4)
${F}_{\mu }'=2x-y-z-1=0$ (5)
步骤 3：讨论不同情况下的解
首先,由(1),(2)可见,如果取$\lambda =-1$,则$\mu =0$,由(3)可知0=z,再由(4),(5)得
${x}^{2}+{y}^{2}-1=0$, 2x-y-1=0
解得 $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=-1\end{matrix} \right.$ 或 $\left \{ \begin{matrix} x=\dfrac {4}{5}\\ y=\dfrac {3}{5}\end{matrix} \right.$
这样得到两个驻点${P}_{1}(0,-1,0)$ ,${P}_{2}(\dfrac {4}{5},\dfrac {3}{5},0)$
其次,如果取$\lambda =1$,由(3)得$\mu =0$,再由(1)(2)得$x=0$, .y=0这样(4)成为$-{z}^{2}=1$,是矛盾的,所以这种情形设有驻点。
最后,讨论$\lambda \neq 1$, .$\lambda \neq -1$情形,由(1),(2),(3)可得
$x=\dfrac {\mu }{1+\lambda }$ .$y=\dfrac {\mu }{2(1+\lambda )}$ ,$z=\dfrac {\mu }{2(1-\lambda )}$代入(4),(5)消去得$3{\lambda }^{2}-9\lambda +8=0$此方程无解,所以这种情形也没有驻点。
步骤 4：确定最短距离
综合上面讨论,可知只有两个驻点,它们到坐标原点的距离都等于1,由实际问题一定有最短距离,所以最短距离为1。
设曲线C上点(x,y,z)到坐标原点的距离为d,令$W={d}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$,约束条件${x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1=0$,2x-y-z-1=0用拉格朗日乘子法,令$F=F(x,y,z,\lambda ,\mu )=({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1)+\mu (2x-y-z-1)$
步骤 2：求偏导数
${F}_{x}'=2x+2\lambda x+2\mu =0$ (1)
${F}_{y}'=2y+2\lambda y-\mu =0$ (2)
${F}_{z}'=2z-2\lambda z-\mu =0$ (3)
${F}_{\lambda }'={x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}-1=0$ (4)
${F}_{\mu }'=2x-y-z-1=0$ (5)
步骤 3：讨论不同情况下的解
首先,由(1),(2)可见,如果取$\lambda =-1$,则$\mu =0$,由(3)可知0=z,再由(4),(5)得
${x}^{2}+{y}^{2}-1=0$, 2x-y-1=0
解得 $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=-1\end{matrix} \right.$ 或 $\left \{ \begin{matrix} x=\dfrac {4}{5}\\ y=\dfrac {3}{5}\end{matrix} \right.$
这样得到两个驻点${P}_{1}(0,-1,0)$ ,${P}_{2}(\dfrac {4}{5},\dfrac {3}{5},0)$
其次,如果取$\lambda =1$,由(3)得$\mu =0$,再由(1)(2)得$x=0$, .y=0这样(4)成为$-{z}^{2}=1$,是矛盾的,所以这种情形设有驻点。
最后,讨论$\lambda \neq 1$, .$\lambda \neq -1$情形,由(1),(2),(3)可得
$x=\dfrac {\mu }{1+\lambda }$ .$y=\dfrac {\mu }{2(1+\lambda )}$ ,$z=\dfrac {\mu }{2(1-\lambda )}$代入(4),(5)消去得$3{\lambda }^{2}-9\lambda +8=0$此方程无解,所以这种情形也没有驻点。
步骤 4：确定最短距离
综合上面讨论,可知只有两个驻点,它们到坐标原点的距离都等于1,由实际问题一定有最短距离,所以最短距离为1。