题目
判断题（共10题，20.0分）题型说明：每小题2分，共20分26.（2.0分）(log_(a)^x)^prime=(1)/(xln a)A 对B 错
判断题（共10题，20.0分）
题型说明：每小题2分，共20分
26.（2.0分）$(\log_{a}^{x})^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$
A 对
B 错
题目解答
答案
根据对数的换底公式，$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$。对两边求导，利用常数因子法则得：
\[
(\log_a x)' = \left( \frac{\ln x}{\ln a} \right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}
\]
因此，$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$，原陈述正确。
答案：$\boxed{A}$
解析
本题考查对数函数求导公式的推导，解题思路是先利用对数换底公式将$\log_{a}x$进行变形，再根据求导的常数因子法则和基本函数求导公式来计算$(\log_{a}x)'$。
- 利用对数换底公式变形：
根据对数换底公式$\log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a}$（其中$a>0$且$a\neq1$，$x>0$），将$\log_{a}x$转化为以自然对数$\ln$表示的形式。 - 对变形后的式子求导：
对$\frac{\ln x}{\ln a}$求导，因为$\frac{1}{\ln a}$是常数，根据求导的常数因子法则$(cf(x))^\prime = cf^\prime(x)$（其中$c$为常数，$f(x)$为可导函数），可得$(\frac{\ln x}{\ln a})^\prime=\frac{1}{\ln a}\cdot(\ln x)^\prime$。 - 根据基本函数求导公式计算$(\ln x)^\prime$：
根据基本函数求导公式，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$（$x>0$），将其代入上式可得$\frac{1}{\ln a}\cdot(\ln x)^\prime=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}$。 - 得出结论：
因为$(\log_{a}x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$，所以原陈述正确。