求(int )_(-1)^1xln (1+(e)^x)dx.

考查要点：本题主要考查定积分的对称性应用及分式化简技巧。关键在于利用奇偶函数的积分性质简化计算，并通过变量替换和对数运算将复杂积分转化为简单形式。

解题思路：

1. 观察积分区间对称性，考虑将原积分拆分为两部分，利用变量替换$x \to -x$。
2. 通过奇偶性分析，将原积分转化为两个积分的差。
3. 利用对数运算性质合并表达式，进一步化简分式，最终转化为易计算的幂函数积分。

步骤1：拆分积分区间

将原积分拆分为两部分：
$\int_{-1}^{1} x \ln(1+e^x) \, dx = \int_{-1}^{0} x \ln(1+e^x) \, dx + \int_{0}^{1} x \ln(1+e^x) \, dx$

步骤2：变量替换

对第一部分积分令$x = -t$，则当$x$从$-1$到$0$时，$t$从$1$到$0$，积分变为：
$\int_{-1}^{0} x \ln(1+e^x) \, dx = \int_{1}^{0} (-t) \ln(1+e^{-t}) (-dt) = \int_{0}^{1} (-t) \ln(1+e^{-t}) \, dt$

步骤3：合并两部分积分

原积分可表示为：
$\int_{0}^{1} \left[ x \ln(1+e^x) - x \ln(1+e^{-x}) \right] dx$

步骤4：对数运算化简

利用$\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$，合并对数项：
$\int_{0}^{1} x \ln \frac{1+e^x}{1+e^{-x}} \, dx$

步骤5：分式化简

分子分母同乘$e^x$，得：
$\frac{1+e^x}{1+e^{-x}} = \frac{e^x(1+e^x)}{e^x + 1} = e^x$
因此积分简化为：
$\int_{0}^{1} x \ln e^x \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot x \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$

步骤6：计算最终积分

$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$