2. 求极限lim_(xto0)(xsin x+2cos x-2)/(x^2)-x^(2cos x).
题目解答
答案
将原式分子和分母分别展开为泰勒级数。
分子：
$x \sin x + 2 \cos x - 2 = x\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) + 2\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) - 2 = x^2 - \frac{x^4}{6} + 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} - 2 + O(x^6) = -\frac{x^4}{12} + O(x^6)$
分母：
$x^2 - x^2 \cos x = x^2 - x^2\left(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)\right) = \frac{x^4}{2} + O(x^6)$
因此，原式可化为：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)}{\frac{x^4}{2} + O(x^6)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6}$
答案： $\boxed{-\frac{1}{6}}$
解析
考查要点：本题主要考查利用泰勒展开法求解极限，涉及三角函数的泰勒展开式及无穷小量的比较。
解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致“$\frac{0}{0}$”型不定式时，可考虑将分子和分母展开为泰勒级数，保留到足够高的阶数，找到最高次项的系数进行比值，从而求得极限。
破题关键点：
- 展开三角函数：将$\sin x$和$\cos x$展开到足够高的阶数（至少到$x^4$项）。
- 合并同类项：分别对分子和分母展开后的多项式进行合并，保留最高次项。
- 系数比值：通过分子和分母的最高次项系数之比得到极限值。
分子展开
将$\sin x$和$\cos x$展开为泰勒级数：
$\begin{aligned}x \sin x &= x \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6), \\2 \cos x &= 2 \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6) \right) = 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + O(x^6).\end{aligned}$
代入分子表达式：
$\begin{aligned}x \sin x + 2 \cos x - 2 &= \left( x^2 - \frac{x^4}{6} \right) + \left( 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} \right) - 2 + O(x^6) \\&= \cancel{x^2} - \frac{x^4}{6} + \cancel{2} - \cancel{x^2} + \frac{x^4}{12} - \cancel{2} + O(x^6) \\&= -\frac{x^4}{12} + O(x^6).\end{aligned}$
分母展开
将$\cos x$展开为泰勒级数：
$x^2 - x^2 \cos x = x^2 - x^2 \left( 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) = \frac{x^4}{2} + O(x^6).$
求极限
分子和分母的最高次项均为$x^4$，系数分别为$-\frac{1}{12}$和$\frac{1}{2}$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)}{\frac{x^4}{2} + O(x^6)} = \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6}.$