题目

设二维离散型随机变量((5)^6X)的联合分布律为：((5)^6X)，求（1）a的值；（2）X与Y的边缘分布律。

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律为： $\begin{pmatrix} X/Y&0&1&2&3 \newline 1&0&\frac{3}{16}&a&0 \newline 2&\frac{1}{16}&0&0&\frac{1}{4} \newline 3&0&\frac{1}{8}&0&\frac{1}{16} \newline 4&\frac{1}{8}&0&\frac{1}{8}&0 \end{pmatrix}$ ，

求（1）a的值；（2）X与Y的边缘分布律。

题目解答

答案

（1）二维离散型随机变量联合分布律的归一性，即 $\sum_{i=1}^4\sum_{j=0}^3P\left(X=i,Y=j\right)=1$ ，则 $0+\frac{3}{16}+a+0+\frac{1}{16}+0+0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{8}$ $+0+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+0+\frac{1}{8}+0=1$ ，则 $a=\frac{1}{16}$ ；

（2）X的边缘分布律为 $P\left(X=1\right)=\sum_{j=0}^3P\left(X=1,Y=j\right)$ $=0+\frac{3}{16}+\frac{1}{16}+0=\frac{1}{4}$ ， $P\left(X=2\right)=\sum_{j=0}^3P\left(X=2,Y=j\right)$ $=\frac{1}{16}+0+0+\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$ ， $P\left(X=3\right)=\sum_{j=0}^3P\left(X=3,Y=j\right)$ $=0+\frac{1}{8}+0+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$ ， $P\left(X=4\right)=\sum_{j=0}^3P\left(X=4,Y=j\right)$ $=\frac{1}{8}+0+\frac{1}{8}+0=\frac{1}{4}$ ，即 $\begin{pmatrix} X &1&2&3&4 \newline P &\frac{1}{4}&\frac{5}{16}&\frac{3}{16}&\frac{1}{4} \end{pmatrix}$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=0\right)=\sum_{i=1}^4P\left(X=i,Y=0\right)$ $=0+\frac{1}{16}+0+\frac{1}{8}=\frac{3}{16}$ ， $P\left(Y=1\right)=\sum_{i=1}^4P\left(X=i,Y=1\right)$ $=\frac{3}{16}+0+\frac{1}{8}+0=\frac{5}{16}$ ， $P\left(Y=2\right)=\sum_{i=1}^4P\left(X=i,Y=2\right)$ $=\frac{1}{16}+0+0+\frac{1}{8}=\frac{3}{16}$ ， $P\left(Y=3\right)=\sum_{i=1}^4P\left(X=i,Y=3\right)$ $=0+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+0=\frac{5}{16}$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&0&1&2&3 \newline P &\frac{3}{16}&\frac{5}{16}&\frac{3}{16}&\frac{5}{16} \end{pmatrix}$ .