题目

填空题（共15题，30.0分）33. (2.0分) lim_(xto0)(2xsin x)/(e^x^(2)-1)-2=____

填空题（共15题，30.0分） 33. (2.0分) $\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1}-2=$____

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1}-2$，我们首先需要分析极限表达式中的每一部分。我们从 $\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1}$ 开始。 ### 步骤1: 使用等价无穷小替换 当 $x \to 0$ 时，我们有以下等价无穷小： - $\sin x \sim x$ - $e^{x^2} - 1 \sim x^2$ 使用这些等价无穷小，我们可以将极限表达式中的 $\sin x$ 替换为 $x$，将 $e^{x^2} - 1$ 替换为 $x^2$。这样，极限变为： \[ \lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1} \sim \lim_{x\to0}\frac{2x \cdot x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{2x^2}{x^2} = \lim_{x\to0}2 = 2 \] ### 步骤2: 将结果代入原极限表达式 现在，我们将 $\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1}$ 的结果代入原极限表达式： \[ \lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1} - 2 = 2 - 2 = 0 \] ### 最终答案 因此，极限 $\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1}-2$ 的值是 $\boxed{0}$。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换和极限运算的基本技巧。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子和分母均趋近于0，属于“$\frac{0}{0}$”型不定式。通过等价无穷小替换简化表达式，快速求出分式部分的极限，再结合整体表达式进行计算。

破题关键点：

  1. 识别等价无穷小：$\sin x \sim x$，$e^{x^2} - 1 \sim x^2$。
  2. 替换后化简：将分式部分简化为常数，再与后面的$-2$相减。

步骤1：处理分式部分
当$x \to 0$时，利用等价无穷小替换：

  • $\sin x \sim x$
  • $e^{x^2} - 1 \sim x^2$

将分式$\frac{2x\sin x}{e^{x^2}-1}$替换为：
$\frac{2x \cdot x}{x^2} = \frac{2x^2}{x^2} = 2$

步骤2：代入原表达式
原式为分式部分减2，即：
$\lim_{x\to0}\frac{2x\sin x}{e^{x^{2}}-1} - 2 = 2 - 2 = 0$