1.[单选题]下列数列收敛的是（）A. 3，-3，…,(-3)^n-1,…B. (1)/(3),(3)/(5),(5)/(7),(7)/(9),…,(2n-1)/(2n+1),…C. 2,-(3)/(2),(4)/(3),…,(-1)^n-1(n+1)/(n),…D. 0,1,0,1,…,0,1,…

考查要点：本题主要考查数列收敛性的判断，需要掌握数列极限的存在条件及常见数列的收敛性分析方法。

解题核心思路：

1. 判断数列是否收敛的关键在于分析当$n \to \infty$时，数列的通项是否趋于某个确定的常数。
2. 对于分式型数列，可通过分子分母最高次项系数比值判断极限。
3. 符号交替的数列若绝对值趋于常数，则极限不存在（发散）。
4. 周期性摆动数列若在有限个值之间循环，则无极限。

破题关键点：

• 选项B的通项$\frac{2n-1}{2n+1}$可通过分子分母同除以$n$化简，极限为$1$。
• 选项C的通项$(-1)^{n-1}\frac{n+1}{n}$因符号交替且绝对值趋于$1$，导致极限不存在。
• 选项D的数列在$0$和$1$间无限摆动，无极限。

选项A分析

通项为$(-3)^{n-1}$，当$n$增大时，绝对值$|(-3)^{n-1}| = 3^{n-1}$呈指数增长，且符号交替。因此数列发散。

选项B分析

通项为$\frac{2n-1}{2n+1}$：

1. 分子分母同除以$n$：
   $\frac{2n-1}{2n+1} = \frac{2 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$
2. 取极限：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{2 - 0}{2 + 0} = 1$
   因此数列收敛到$1$。

选项C分析

通项为$(-1)^{n-1}\frac{n+1}{n}$：

1. 绝对值分析：
   $\left|\frac{n+1}{n}\right| = 1 + \frac{1}{n} \to 1 \quad (n \to \infty)$
2. 符号交替：$(-1)^{n-1}$导致数列在$1$和$-1$附近摆动，极限不存在，故发散。

选项D分析

数列为$0,1,0,1,\ldots$，在$0$和$1$之间无限交替，无确定极限，故发散。