题目
[题目]证明 cup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C)
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$
假设 $x\in A\cup (B\cap C)$，则 $x\in A$ 或 $x\in B\cap C$。
- 如果 $x\in A$，则 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$，因此 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
- 如果 $x\in B\cap C$，则 $x\in B$ 且 $x\in C$，因此 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$，所以 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
综上，$A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
步骤 2：证明 $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$
假设 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$，则 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$。
- 如果 $x\in A$，则 $x\in A\cup (B\cap C)$。
- 如果 $x\notin A$，则 $x\in B$ 且 $x\in C$，因此 $x\in B\cap C$，所以 $x\in A\cup (B\cap C)$。
综上，$(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$。
步骤 3：结合步骤 1 和步骤 2
由于 $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$ 且 $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$，所以 $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$。
假设 $x\in A\cup (B\cap C)$，则 $x\in A$ 或 $x\in B\cap C$。
- 如果 $x\in A$，则 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$，因此 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
- 如果 $x\in B\cap C$，则 $x\in B$ 且 $x\in C$，因此 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$，所以 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
综上，$A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$。
步骤 2：证明 $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$
假设 $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$，则 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$。
- 如果 $x\in A$，则 $x\in A\cup (B\cap C)$。
- 如果 $x\notin A$，则 $x\in B$ 且 $x\in C$，因此 $x\in B\cap C$，所以 $x\in A\cup (B\cap C)$。
综上，$(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$。
步骤 3：结合步骤 1 和步骤 2
由于 $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$ 且 $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$，所以 $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$。