题目
若方程组 [ x_{1)+2x_(2)+2x_(3)=6, 2x_(1)+x_(2)+3x_(3)+ax_(4)=0, 3x_(1)+ax_(2)+6x_(3)=18, 4x_(1)-x_(2)+9x_(3)+13x_(4)=b C. a = -1, b neq 36D. a = -1, b = 36
若方程组
$\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6, \\ 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+ax_{4}=0, \\ 3x_{1}+ax_{2}+6x_{3}=18, \\ 4x_{1}-x_{2}+9x_{3}+13x_{4}=b \end{array} \right.$
只有一个解，则$a,b$的取值范围为()。
A. $a \neq 1$且$a \neq -6$, $b \in \mathbb{R}$
B. $a \neq -1$且$a \neq 6$, $b \in \mathbb{R}$
C. $a = -1$, $b \neq 36$
D. $a = -1$, $b = 36$
题目解答
答案
B. $a \neq -1$且$a \neq 6$, $b \in \mathbb{R}$
解析
步骤 1：计算系数矩阵的行列式
将方程组的系数矩阵展开并计算行列式： \[ \det(A) = a^2 - 5a - 6 = (a - 6)(a + 1). \]
步骤 2：确定行列式非零的条件
为使方程组有唯一解，行列式非零，即 $(a - 6)(a + 1) \neq 0$，解得 $a \neq 6$ 且 $a \neq -1$。此时，$b$ 可取任意实数。
将方程组的系数矩阵展开并计算行列式： \[ \det(A) = a^2 - 5a - 6 = (a - 6)(a + 1). \]
步骤 2：确定行列式非零的条件
为使方程组有唯一解，行列式非零，即 $(a - 6)(a + 1) \neq 0$，解得 $a \neq 6$ 且 $a \neq -1$。此时，$b$ 可取任意实数。