5.函数u=xy^2z^3在(1,1,1)处沿方向vec(l)=2,2,1的方向导数为_____.

为了求函数 $ u = xy^2z^3 $ 在点 $ (1,1,1) $ 处沿方向 $ \vec{l} = \{2,2,1\} $ 的方向导数，我们需要使用方向导数的公式。函数 $ u $ 在点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 处沿方向 $ \vec{l} = \{a, b, c\} $ 的方向导数由下式给出： \[ \frac{\partial u}{\partial \vec{l}} = \nabla u \cdot \hat{\vec{l}} \] 其中 $ \nabla u $ 是 $ u $ 的梯度，而 $ \hat{\vec{l}} $ 是 $ \vec{l} $ 方向上的单位向量。 首先，我们计算 $ u $ 的梯度。梯度 $ \nabla u $ 由下式给出： \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \] 我们找到 $ u $ 的偏导数： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 z^3, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz^3, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = 3xy^2z^2 \] 在点 $ (1,1,1) $ 处计算这些偏导数，我们得到： \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{(1,1,1)} = 1^2 \cdot 1^3 = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} \bigg|_{(1,1,1)} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1^3 = 2, \quad \frac{\partial u}{\partial z} \bigg|_{(1,1,1)} = 3 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot 1^2 = 3 \] 因此，$ u $ 在 $ (1,1,1) $ 处的梯度为： \[ \nabla u \bigg|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3) \] 接下来，我们找到方向 $ \vec{l} = \{2, 2, 1\} $ 上的单位向量 $ \hat{\vec{l}} $。向量 $ \vec{l} $ 的模为： \[ $\vec{l}$ = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 因此，单位向量 $ \hat{\vec{l}} $ 为： \[ \hat{\vec{l}} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \] 现在，我们计算梯度与单位向量的点积： \[ \frac{\partial u}{\partial \vec{l}} = \nabla u \cdot \hat{\vec{l}} = (1, 2, 3) \cdot \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] 因此，函数 $ u = xy^2z^3 $ 在点 $ (1,1,1) $ 处沿方向 $ \vec{l} = \{2,2,1\} $ 的方向导数为： \[ \boxed{3} \]