题目
设A的特征值2-2,则^2-2A-2E的特征值为A 2,-6 B -2,6 C -4,4 D 2,-2
设A的特征值2-2,则
的特征值为
A 2,-6
B -2,6
C -4,4
D 2,-2
题目解答
答案
选B
用
表示矩阵A特征值，得到
，
为特征向量。
值为2，-2，带入
可得，值为-2，6。
解析
步骤 1：特征值与特征向量的关系
设矩阵A的特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\alpha$，则有$A\alpha =\lambda \alpha$。
步骤 2：计算${A}^{2}-2A-2E$的特征值
对于${A}^{2}-2A-2E$，我们有：
$({A}^{2}-2A-2E)\alpha =A(A\alpha )-2A\alpha -2E\alpha =A(\lambda \alpha )-2\lambda \alpha -2\alpha ={\lambda }^{2}\alpha -2\lambda \alpha -2\alpha =({\lambda }^{2}-2\lambda -2)\alpha$。
因此，${A}^{2}-2A-2E$的特征值为${\lambda }^{2}-2\lambda -2$。
步骤 3：代入特征值计算
已知矩阵A的特征值为2和-2，代入${\lambda }^{2}-2\lambda -2$中计算：
当$\lambda =2$时，${\lambda }^{2}-2\lambda -2={2}^{2}-2\times 2-2=-2$；
当$\lambda =-2$时，${\lambda }^{2}-2\lambda -2={(-2)}^{2}-2\times (-2)-2=6$。
设矩阵A的特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\alpha$，则有$A\alpha =\lambda \alpha$。
步骤 2：计算${A}^{2}-2A-2E$的特征值
对于${A}^{2}-2A-2E$，我们有：
$({A}^{2}-2A-2E)\alpha =A(A\alpha )-2A\alpha -2E\alpha =A(\lambda \alpha )-2\lambda \alpha -2\alpha ={\lambda }^{2}\alpha -2\lambda \alpha -2\alpha =({\lambda }^{2}-2\lambda -2)\alpha$。
因此，${A}^{2}-2A-2E$的特征值为${\lambda }^{2}-2\lambda -2$。
步骤 3：代入特征值计算
已知矩阵A的特征值为2和-2，代入${\lambda }^{2}-2\lambda -2$中计算：
当$\lambda =2$时，${\lambda }^{2}-2\lambda -2={2}^{2}-2\times 2-2=-2$；
当$\lambda =-2$时，${\lambda }^{2}-2\lambda -2={(-2)}^{2}-2\times (-2)-2=6$。