题目
设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 P(X=0)=P(X=1)=0.5，Y 的概率密度为 f(y)=}2y, & 0A. (3)/(8)B. (4)/(8)C. (5)/(8)D. (6)/(8)
设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 P{X=0}=P{X=1}=0.5，Y 的概率密度为 $f(y)=\begin{cases}2y, & 0< y< 1 \\ 0, & others\end{cases}$，则 P{X+Y $\leq$ 1.5}=().
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{4}{8}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{6}{8}$
题目解答
答案
C. $\frac{5}{8}$
解析
步骤 1：应用全概率公式
根据全概率公式，有：\[ P\{X + Y \leq 1.5\} = P\{X = 0\}P\{Y \leq 1.5\} + P\{X = 1\}P\{Y \leq 0.5\} \]
步骤 2：计算概率
已知 $P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = 0.5$，且 $Y$ 的概率密度为 $f(y) = 2y$（$0 < y < 1$），则：\[ P\{Y \leq 1.5\} = 1 \quad \text{（因 $Y$ 范围为 $0$ 到 $1$）} \] \[ P\{Y \leq 0.5\} = \int_0^{0.5} 2y \, dy = \left[ y^2 \right]_0^{0.5} = 0.25 \]
步骤 3：代入计算
代入得：\[ P\{X + Y \leq 1.5\} = 0.5 \times 1 + 0.5 \times 0.25 = 0.625 = \frac{5}{8} \]
根据全概率公式，有：\[ P\{X + Y \leq 1.5\} = P\{X = 0\}P\{Y \leq 1.5\} + P\{X = 1\}P\{Y \leq 0.5\} \]
步骤 2：计算概率
已知 $P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = 0.5$，且 $Y$ 的概率密度为 $f(y) = 2y$（$0 < y < 1$），则：\[ P\{Y \leq 1.5\} = 1 \quad \text{（因 $Y$ 范围为 $0$ 到 $1$）} \] \[ P\{Y \leq 0.5\} = \int_0^{0.5} 2y \, dy = \left[ y^2 \right]_0^{0.5} = 0.25 \]
步骤 3：代入计算
代入得：\[ P\{X + Y \leq 1.5\} = 0.5 \times 1 + 0.5 \times 0.25 = 0.625 = \frac{5}{8} \]