5. (1.5分) 当x→∞时，xsinx的极限是（）A. 不存在B. ∞C. 1D. 0

考查要点：本题主要考查学生对函数极限概念的理解，特别是当变量趋向于无穷大时，涉及振荡函数与线性增长函数乘积的极限是否存在。

解题核心思路：

1. 分析各部分函数的行为：明确$\sin x$在$x \to \infty$时的振荡特性，以及$x$本身趋向于无穷大的趋势。
2. 结合乘积特性：通过$\sin x$的有界性和$x$的无界性，判断乘积$x \sin x$的整体趋势。
3. 极限存在的条件：若函数值无法收敛到某个确定值或无穷远，则极限不存在。

破题关键点：

• 振荡发散：$\sin x$的周期性导致$x \sin x$在正负区间无限振荡，无法稳定趋向任何方向。

步骤分析

1. 分析$\sin x$的特性
   $\sin x$是周期为$2\pi$的有界函数，其值始终在$[-1, 1]$之间振荡，无论$x$多大，$\sin x$都不会趋向于某个固定值。

2. 分析$x \sin x$的整体趋势

   • 当$\sin x = 1$时，$x \sin x = x \to +\infty$；
   • 当$\sin x = -1$时，$x \sin x = -x \to -\infty$；
   • 当$\sin x = 0$时，$x \sin x = 0$。
     因此，$x \sin x$的值会随着$x$的增大在$[-x, x]$之间无限振荡。

3. 判断极限是否存在

   • 若极限存在，函数值应趋向某个确定值，但$x \sin x$在正负无穷间振荡，无法收敛。
   • 若极限为无穷大，函数值应单向趋向正无穷或负无穷，但$x \sin x$的符号交替变化，不符合条件。
   • 综上，极限不存在。