设A,B,C三个事件两两相互独立，则A,B,C总体相互独立的充要条件是（）A. AB与BC独立B. A cup B 与 B cup C 独立C. AB与B cup C 独立D. A与BC独立

本题考查事件独立性的相关知识，解题的关键在于明确事件两两相互独立和总体相互独立的定义，并根据这些定义来分析各个选项与$A$，$B$，$C$总体相互独立之间的关系。

事件独立性的定义

• 若事件$A$，$B$，$C$两两相互独立，则有$P(AB)=P(A)P(B)$，$P(AC)=P(A)P(C)$，$P(BC)=P(B)P(C)$。
• 若事件$A$，$B$，$C$总体相互独立，则除了满足两两相互独立外，还需满足$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。

对各选项的分析

• 选项A：$AB$与$BC$独立
  若$AB$与$BC$独立，则$P(AB\cap BC)=P(AB)P(BC)$。
  因为$AB\cap BC = ABC$，所以$P(ABC)=P(AB)P(BC)$。
  又因为$A$，$B$，$C$两两相互独立，即$P(AB)=P(A)P(B)$，$P(BC)=P(B)P(C)$，那么$P(ABC)=P(A)P(B)P(B)P(C)$，这与$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$不一定相等，所以不能推出$A$，$B$，$C$总体相互独立，该选项错误。
• 选项B：$A \cup B$与$B \cup C$独立
  若$A \cup B$与$B \cup C$独立，则$P((A \cup B)\cap (B \cup C))=P(A \cup B)P(B \cup C)$。
  根据集合运算$(A \cup B)\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)$，$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，$P(B \cup C)=P(B)+P(C)-P(BC)$。
  此条件无法直接推出$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，所以不能推出$A$，$B$，$C$总体相互独立，该选项错误。
• 选项C：$AB$与$B \cup C$独立
  若$AB$与$B \cup C$独立，则$P(AB\cap (B \cup C))=P(AB)P(B \cup C)$。
  因为$AB\cap (B \cup C)=(AB\cap B)\cup (AB\cap C)=AB\cup ABC = AB$，所以$P(AB)=P(AB)P(B \cup C)$。
  即$P(B \cup C)=1$，这与$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$没有直接关联，所以不能推出$A$，$B$，$C$总体相互独立，该选项错误。
• 选项D：$A$与$BC$独立
  若$A$与$BC$独立，则$P(A\cap BC)=P(A)P(BC)$。
  因为$A\cap BC = ABC$，且$A$，$B$，$C$两两相互独立，即$P(BC)=P(B)P(C)$，所以$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，满足$A$，$B$，$C$总体相互独立的条件。
  反之，若$A$，$B$，$C$总体相互独立，则$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，又因为$P(BC)=P(B)P(C)$，所以$P(A\cap BC)=P(A)P(BC)$，即$A$与$BC$独立。
  所以$A$与$BC$独立是$A$，$B$，$C$总体相互独立的充要条件，该选项正确。