题目
已知随机变量X的概率密度为-|||-_(x)(x)= ) (e)^-x,xgt 0, 0,xleqslant 0 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Y的取值范围
由于 $Y = e^x$，且 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，因此 $Y$ 的取值范围为 $Y > 1$。
步骤 2：求Y的累积分布函数
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^x \leq y) = P(x \leq \ln y)$
当 $y \leq 1$ 时，$F_Y(y) = 0$，因为 $Y$ 的取值范围为 $Y > 1$。
当 $y > 1$ 时，$F_Y(y) = \int_{0}^{\ln y} e^{-x} dx = -e^{-x} |_{0}^{\ln y} = 1 - e^{-\ln y} = 1 - \frac{1}{y}$。
步骤 3：求Y的概率密度函数
$F_Y(y)$ 的导数即为 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。
当 $y \leq 1$ 时，$f_Y(y) = 0$。
当 $y > 1$ 时，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - \frac{1}{y}) = \frac{1}{y^2}$。
由于 $Y = e^x$，且 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，因此 $Y$ 的取值范围为 $Y > 1$。
步骤 2：求Y的累积分布函数
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^x \leq y) = P(x \leq \ln y)$
当 $y \leq 1$ 时，$F_Y(y) = 0$，因为 $Y$ 的取值范围为 $Y > 1$。
当 $y > 1$ 时，$F_Y(y) = \int_{0}^{\ln y} e^{-x} dx = -e^{-x} |_{0}^{\ln y} = 1 - e^{-\ln y} = 1 - \frac{1}{y}$。
步骤 3：求Y的概率密度函数
$F_Y(y)$ 的导数即为 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。
当 $y \leq 1$ 时，$f_Y(y) = 0$。
当 $y > 1$ 时，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - \frac{1}{y}) = \frac{1}{y^2}$。