题目

已知标量场u(x,y,z)=x^3y-y^2z+2xz^2，矢量场vec(H)(x,y,z)=xyvec(e)_(x)+yzvec(e)_(y)+zxvec(e)_(z)，试完成以下运算：1).计算标量场u的梯度∇u；2).计算矢量场vec(H)的散度∇·vec(H)；3).计算∇·(∇u)。

已知标量场 $u(x,y,z)=x^{3}y-y^{2}z+2xz^{2}$，矢量场 $\vec{H}(x,y,z)=xy\vec{e}_{x}+yz\vec{e}_{y}+zx\vec{e}_{z}$，试完成以下运算： 1).计算标量场u的梯度∇u； 2).计算矢量场$\vec{H}$的散度∇·$\vec{H}$； 3).计算∇·(∇u)。

题目解答

答案

  1. 梯度计算
    $ u(x, y, z) = x^3y - y^2z + 2xz^2 $
    $\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (3x^2y + 2z^2, x^3 - 2yz, -y^2 + 4xz)$
    答案：
    $\boxed{(3x^2y + 2z^2) \vec{e}_x + (x^3 - 2yz) \vec{e}_y + (-y^2 + 4xz) \vec{e}_z}$

  2. 散度计算
    $ \vec{H}(x, y, z) = xy \vec{e}_x + yz \vec{e}_y + zx \vec{e}_z $
    $\nabla \cdot \vec{H} = \frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = y + z + x = x + y + z$
    答案：
    $\boxed{x + y + z}$

  3. 拉普拉斯算子计算
    $\nabla \cdot (\nabla u) = \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 6xy - 2z + 4x$
    答案：
    $\boxed{6xy - 2z + 4x}$