25. 设alpha_(1)=x(cossqrt(x)-1),alpha_(2)=sqrt(x)ln(1+sqrt[3](x)),alpha_(3)=sqrt[3](x+1)-1.当xto0^+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是____.
题目解答
答案
-
分析 $\alpha_1$：
$\alpha_1 = x(\cos\sqrt{x} - 1) \sim x\left(-\frac{x}{2}\right) = -\frac{x^2}{2}$，为 $x^2$ 的同阶无穷小。 -
分析 $\alpha_2$：
$\alpha_2 = \sqrt{x}\ln(1 + \sqrt[3]{x}) \sim \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{5}{6}}$，为 $x^{\frac{5}{6}}$ 的同阶无穷小。 -
分析 $\alpha_3$：
$\alpha_3 = \sqrt[3]{x+1} - 1 \sim \frac{1}{3}x$，为 $x$ 的同阶无穷小。 -
比较阶数：
指数大小为 $2 > \frac{5}{6} > 1$，对应阶数从高到低为 $\alpha_1 > \alpha_2 > \alpha_3$。 -
排序：
从低阶到高阶为 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$。
答案： $\boxed{B}$
解析
本题考查无穷小量阶的比较，解题思路是利用等价无穷小替换分别求出$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\alpha_3$在$x\to0^{+}$时的等价无穷小形式，再根据等价无穷小的阶数（即$x$的幂次）来确定它们从低阶到高阶的排序。
分析$\alpha_1$
当$x\to0$时，有等价无穷小$\cos x - 1\sim-\frac{1}{2}x^2$。
在$\alpha_1 = x(\cos\sqrt{x} - 1)$中，令$t = \sqrt{x}$，当$x\to0^{+}$时，$t\to0^{+}$，则$\cos\sqrt{x} - 1=\cos t - 1\sim-\frac{1}{2}t^2=-\frac{1}{2}(\sqrt{x})^2=-\frac{1}{2}x$。
所以$\alpha_1 = x(\cos\sqrt{x} - 1)\sim x\cdot\left(-\frac{1}{2}x\right)=-\frac{1}{2}x^2$，即$\alpha_1$是$x^2$的同阶无穷小。
分析$\alpha_2$
当$x\to0$时，有等价无穷小$\ln(1 + x)\sim x$。
在$\alpha_2 = \sqrt{x}\ln(1 + \sqrt[3]{x})$中，令$u = \sqrt[3]{x}$，当$x\to0^{+}$时，$u\to0^{+}$，则$\ln(1 + \sqrt[3]{x})=\ln(1 + u)\sim u=\sqrt[3]{x}$。
所以$\alpha_2 = \sqrt{x}\ln(1 + \sqrt[3]{x})\sim\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}$，即$\alpha_2$是$x^{\frac{5}{6}}$的同阶无穷小。
分析$\alpha_3$
当$x\to0$时，有等价无穷小$(1 + x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$。
在\(\alpha_3 = \sqrt[3]{x + 1} - 1=(1 + x)^{\frac{1}{3}} 比较阶数
比较$x^2$、$x^{\frac{5}{6}}$、$x$的阶数，即比较指数$2$、$\frac{5}{6}$、$1$的大小。
因为$2>\frac{5}{6}>1$，所以阶数从高到低为$\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3$。
排序
从低阶到高阶的排序为$\alpha_2$、$\alpha_3$、$\alpha_1$。