设区域D由曲线y=sinx,x=-(pi)/(2),x=(pi)/(2)与y=1围成，则iintlimits_(D)(xy^5-1)dxdy=( )。 A. π B. 2 C. -2 D. -π

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D}(xy^{5}-1)dxdy$，其中区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x$, $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{2}$ 与 $y=1$ 围成，我们可以按照以下步骤进行： 1. **确定积分区域 $D$**: - 区域 $D$ 的边界是 $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \sin x$ 和 $y = 1$。 - 这意味着对于每个 $x$ 在 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 之间， $y$ 的范围是 $[\sin x, 1]$。 2. **将二重积分化为累次积分**: \[ \iint\limits_{D}(xy^{5} - 1)dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\sin x}^{1} (xy^{5} - 1) dy dx \] 3. **先对 $y$ 积分**: \[ \int_{\sin x}^{1} (xy^{5} - 1) dy = \int_{\sin x}^{1} xy^{5} dy - \int_{\sin x}^{1} 1 dy \] - 计算 $\int_{\sin x}^{1} xy^{5} dy$: \[ \int_{\sin x}^{1} xy^{5} dy = x \int_{\sin x}^{1} y^{5} dy = x \left[ \frac{y^{6}}{6} \right]_{\sin x}^{1} = x \left( \frac{1}{6} - \frac{\sin^{6} x}{6} \right) = \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) \] - 计算 $\int_{\sin x}^{1} 1 dy$: \[ \int_{\sin x}^{1} 1 dy = [y]_{\sin x}^{1} = 1 - \sin x \] - 将两个结果相减: \[ \int_{\sin x}^{1} (xy^{5} - 1) dy = \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) - (1 - \sin x) \] 4. **对 $x$ 积分**: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) - (1 - \sin x) \right) dx \] - 将积分分成两部分: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx \] - 考虑第一部分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) dx$: - 函数 $\frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x)$ 是奇函数（因为 $x$ 是奇函数，$(1 - \sin^{6} x)$ 是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数）。 - 在对称区间 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上，奇函数的积分是0。 \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) dx = 0 \] - 考虑第二部分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx$: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx \] - 计算 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \left[ x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi \] - 计算 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - \left( -\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 0 \] - 将两个结果相减: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx = \pi - 0 = \pi \] 5. **将两部分结果相减**: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{x}{6} (1 - \sin^{6} x) - (1 - \sin x) \right) dx = 0 - \pi = -\pi \] 因此，二重积分 $\iint\limits_{D}(xy^{5} - 1)dxdy$ 的值是 $\boxed{-\pi}$。正确答案是 $\boxed{D}$。