3.求函数z=1-((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2))在点((a)/(sqrt(2)),(b)/(sqrt(2)))处沿曲线(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1在该点的内法线方向的方向导数.

考查要点：本题主要考查方向导数的计算，涉及曲线在某点的内法线方向确定、梯度向量的求解以及点积运算。

解题核心思路：

1. 确定内法线方向：通过曲线方程隐函数求导得到切线斜率，进而得到法线方向；结合椭圆的几何特性判断内法线方向。
2. 计算梯度向量：对函数$z$求偏导，得到梯度向量。
3. 方向导数公式：方向导数等于梯度与单位方向向量的点积。

破题关键点：

• 内法线方向的确定：需注意法线方向指向椭圆内部，可通过梯度方向的反方向或切线方向的垂直向量推导。
• 单位向量的标准化：确保方向向量为单位长度。

1. 求曲线的切线斜率

对曲线方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$隐函数求导：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
代入点$\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$，得：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}}{a^2 \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}} = -\frac{b}{a}$

2. 确定内法线方向

• 法线斜率为切线斜率的负倒数，即$\frac{a}{b}$。
• 法线方向向量为$(b, a)$，但内法线方向应指向椭圆内部，故取反向量$(-b, -a)$。
• 单位化方向向量：
  $\text{单位向量} = \left\{ -\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right\}$

3. 计算函数$z$的梯度

函数$z = 1 - \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right)$的梯度为：
$\nabla z = \left\{ -\frac{2x}{a^2}, -\frac{2y}{b^2} \right\}$
代入点$\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$，得：
$\nabla z = \left\{ -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \right\}$

4. 计算方向导数

方向导数为梯度与单位方向向量的点积：
$\begin{aligned}\text{方向导数} &= \left( -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \right) \cdot \left( -\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \\&= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) \\&= \frac{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}{ab}\end{aligned}$