题目
根据数列极限的定义证明:lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2) __
根据数列极限的定义证明:
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：定义数列极限
数列极限的定义是：如果对于任意给定的正数 $\xi$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - A| < \xi$，则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，记作 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$。
步骤 2：应用定义
对于数列 $\{a_n\} = \frac{3n+1}{2n+1}$，我们希望证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}$。根据定义，我们需要证明对于任意给定的正数 $\xi$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| < \xi$。
步骤 3：计算差值
计算差值 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right|$：
\[
\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| = \left|\frac{6n+2 - 6n - 3}{4n+2}\right| = \left|\frac{-1}{4n+2}\right| = \frac{1}{4n+2}
\]
步骤 4：确定 $N$
为了使 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，我们需要找到一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，上述不等式成立。解不等式 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，得到 $4n+2 > \frac{1}{\xi}$，即 $n > \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2}$。因此，取 $N = \left\lceil \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2} \right\rceil$，其中 $\left\lceil x \right\rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。
步骤 5：验证
当 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，即 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| < \xi$，满足数列极限的定义。
数列极限的定义是：如果对于任意给定的正数 $\xi$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - A| < \xi$，则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，记作 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$。
步骤 2：应用定义
对于数列 $\{a_n\} = \frac{3n+1}{2n+1}$，我们希望证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}$。根据定义，我们需要证明对于任意给定的正数 $\xi$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| < \xi$。
步骤 3：计算差值
计算差值 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right|$：
\[
\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| = \left|\frac{6n+2 - 6n - 3}{4n+2}\right| = \left|\frac{-1}{4n+2}\right| = \frac{1}{4n+2}
\]
步骤 4：确定 $N$
为了使 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，我们需要找到一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，上述不等式成立。解不等式 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，得到 $4n+2 > \frac{1}{\xi}$，即 $n > \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2}$。因此，取 $N = \left\lceil \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2} \right\rceil$，其中 $\left\lceil x \right\rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。
步骤 5：验证
当 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{4n+2} < \xi$，即 $\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| < \xi$，满足数列极限的定义。