题目
把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (2)(int )_(0)^adx(int )_(0)^xsqrt ({x)^2+(y)^2}dy;
把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值:
(2)
;
题目解答
答案
积分区域D如图所示. 因为
, 所以
.
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D由$0\leqslant x\leqslant a$和$0\leqslant y\leqslant x$定义，即D是第一象限中从原点到点(a, a)的三角形区域。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$。积分区域D在极坐标系中表示为$0\leqslant \theta\leqslant \dfrac{\pi}{4}$和$0\leqslant \rho\leqslant a\sec \theta$。
步骤 3：计算积分
将原积分转换为极坐标形式，得到${\int }_{0}^{a}dx{\int }_{0}^{x}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dy=\iint \rho \cdot \rho d\rho d\theta$，其中$\rho \cdot \rho$是被积函数在极坐标下的形式，即$\sqrt{x^2+y^2}=\rho$。因此，原积分变为${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}d\theta {\int }_{0}^{a\sec \theta}\rho^2 d\rho$。
步骤 4：计算内积分
计算内积分${\int }_{0}^{a\sec \theta}\rho^2 d\rho$，得到$\dfrac{1}{3}\rho^3|_{0}^{a\sec \theta}=\dfrac{1}{3}(a\sec \theta)^3=\dfrac{a^3}{3}\sec^3 \theta$。
步骤 5：计算外积分
计算外积分${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac{a^3}{3}\sec^3 \theta d\theta$，得到$\dfrac{a^3}{3}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\sec^3 \theta d\theta$。利用积分公式${\int }\sec^3 \theta d\theta=\dfrac{1}{2}(\sec \theta \tan \theta + \ln|\sec \theta + \tan \theta|)+C$，代入上下限，得到$\dfrac{a^3}{6}(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1))$。
积分区域D由$0\leqslant x\leqslant a$和$0\leqslant y\leqslant x$定义，即D是第一象限中从原点到点(a, a)的三角形区域。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$。积分区域D在极坐标系中表示为$0\leqslant \theta\leqslant \dfrac{\pi}{4}$和$0\leqslant \rho\leqslant a\sec \theta$。
步骤 3：计算积分
将原积分转换为极坐标形式，得到${\int }_{0}^{a}dx{\int }_{0}^{x}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dy=\iint \rho \cdot \rho d\rho d\theta$，其中$\rho \cdot \rho$是被积函数在极坐标下的形式，即$\sqrt{x^2+y^2}=\rho$。因此，原积分变为${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}d\theta {\int }_{0}^{a\sec \theta}\rho^2 d\rho$。
步骤 4：计算内积分
计算内积分${\int }_{0}^{a\sec \theta}\rho^2 d\rho$，得到$\dfrac{1}{3}\rho^3|_{0}^{a\sec \theta}=\dfrac{1}{3}(a\sec \theta)^3=\dfrac{a^3}{3}\sec^3 \theta$。
步骤 5：计算外积分
计算外积分${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac{a^3}{3}\sec^3 \theta d\theta$，得到$\dfrac{a^3}{3}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\sec^3 \theta d\theta$。利用积分公式${\int }\sec^3 \theta d\theta=\dfrac{1}{2}(\sec \theta \tan \theta + \ln|\sec \theta + \tan \theta|)+C$，代入上下限，得到$\dfrac{a^3}{6}(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1))$。