下列级数中，绝对收敛的是(）A. sum_(n=1)^infty(-1)^n(2^n+1)/(3^n)-1.B. sum_(n=1)^infty(-1)^n(n)/(2n^2)+3.C. sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(ln(n+1)).D. sum_(n=1)^infty(-1)^n(n)/(3n-2).

本题考查级数绝对收敛的判断，解题思路是先求出每个选项中级数的绝对值级数，再根据不同的判别方法判断绝对值级数的敛散性，若绝对值级数收敛，则原级数绝对收敛。

选项A

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$，其绝对值级数为$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$。
使用比值判别法，设$a_{n}=\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$，则$a_{n + 1}=\frac{2^{n + 1}+1}{3^{n + 1}-1}$。
计算$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$：
$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n + 1}+1}{3^{n + 1}-1}}{\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}}\\&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2^{n + 1}+1)(3^{n}-1)}{(3^{n + 1}-1)(2^{n}+1)}\\&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2\cdot2^{n}\cdot3^{n}-2^{n + 1}+3^{n}-1}{3\cdot3^{n}\cdot2^{n}+3^{n + 1}-2^{n}-1}\\&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2\cdot(\frac{2}{3})^{n}-2\cdot(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n}-\frac{1}{3^{n}}}{3 + 3\cdot(\frac{1}{2})^{n}-(\frac{1}{3})^{n}-\frac{1}{3^{n}\cdot2^{n}}}\\&=\frac{0 - 0 + 0 - 0}{3 + 0 - 0 - 0}\\&=0\end{align*}$
因为$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 0\lt1$，根据比值判别法可知，绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$收敛，所以原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$绝对收敛。

选项B

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{2n^{2}+3}$，其绝对值级数为$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{n}{2n^{2}+3}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{2n^{2}+3}$。
使用比较判别法，当$n$足够大时，$\frac{n}{2n^{2}+3}\sim\frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}$。
因为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是调和级数，发散，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$也发散。
根据比较判别法的极限形式，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2n^{2}+3}}{\frac{1}{2n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^{2}}{2n^{2}+3}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{2+\frac{3}{n^{2}}}=1$，所以绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{2n^{2}+3}$发散，原级数不绝对收敛。

选项C

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n + 1)}$，其绝对值级数为$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{\ln(n + 1)}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n + 1)}$。
因为当$n\geq1$时，$\ln(n + 1)\lt n$，所以$\frac{1}{\ln(n + 1)}\gt\frac{1}{n}$。
又因为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，根据比较判别法可知，绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n + 1)}$发散，原级数不绝对收敛。

选项D

对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{3n - 2}$，其绝对值级数为$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{n}{3n - 2}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{3n - 2}$。
计算$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{3n - 2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{3-\frac{2}{n}}=\frac{1}{3}\neq0$。
根据级数收敛的必要条件，若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=0$，所以绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{3n - 2}$发散，原级数不绝对收敛。