9.证明：若f与g都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M，m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ(m≤μ≤M)，使得int_(a)^bf(x)g(x)dx=muint_(a)^bg(x)dx.

考查要点：本题主要考查积分中值定理的推广形式，涉及可积函数的性质、积分的比较定理以及确界概念的应用。

解题核心思路：

1. 利用g(x)不变号的性质，将问题简化为非负情况处理，避免符号干扰。
2. 通过f(x)的上下确界建立不等式链，将积分范围限制在特定区间内。
3. 分情况讨论积分$\int_a^b g(x)dx$是否为零，分别构造满足条件的$\mu$，确保其存在性。

破题关键点：

• 关键不等式：由$m \leq f(x) \leq M$推导出$mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)$，并积分得到整体范围。
• 分类讨论：当$\int_a^b g(x)dx = 0$时，直接取任意$\mu \in [m, M]$；当积分不为零时，通过比值构造$\mu$。

步骤1：假设g(x)非负
不妨设$g(x) \geq 0$（若$g(x) \leq 0$，可类似处理，仅需调整符号方向）。

步骤2：建立不等式链
由$f(x)$的上、下确界$m \leq f(x) \leq M$，两边同乘非负$g(x)$得：
$mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).$

步骤3：积分不等式
对上述不等式在$[a,b]$上积分，利用积分的保序性：
$m \int_a^b g(x)dx \leq \int_a^b f(x)g(x)dx \leq M \int_a^b g(x)dx.$

步骤4：分情况讨论

• 情况1：若$\int_a^b g(x)dx = 0$，则由不等式可知$\int_a^b f(x)g(x)dx = 0$。此时任意$\mu \in [m, M]$均满足等式。
• 情况2：若$\int_a^b g(x)dx > 0$，定义$\mu = \frac{\int_a^b f(x)g(x)dx}{\int_a^b g(x)dx}$。由积分不等式可得$m \leq \mu \leq M$，且等式成立。

结论：无论哪种情况，均存在$\mu \in [m, M]$使得等式成立。