题目

(13) lim _(xarrow 0)((dfrac {arctan x)(x))}^dfrac (1{{x)^2}}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与无穷小量的结合形式。需要掌握泰勒展开的应用以及重要极限公式的变形。

解题核心思路：
当遇到形如 $\left(1 + f(x)\right)^{g(x)}$ 的极限时，通常将其转化为自然指数形式，利用公式 $\lim_{x \to 0} (1 + f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x)}$。本题的关键在于将底数展开为泰勒多项式，提取出主要的无穷小项，再结合指数部分进行化简。

破题关键点：

  1. 泰勒展开：将 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处展开，得到 $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$。
  2. 变形底数：将 $\dfrac{\arctan x}{x}$ 写成 $1 + \left(-\dfrac{x^2}{3}\right) + o(x^2)$ 的形式。
  3. 应用重要极限：利用 $\lim_{x \to 0} \left(1 + a x^2\right)^{1/x^2} = e^a$ 求解。

步骤 1：取自然对数简化表达式
设原式为 $L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \cdot \ln \left( \dfrac{\arctan x}{x} \right)$

步骤 2：泰勒展开 $\arctan x$
$\arctan x$ 在 $x=0$ 处的展开式为：
$\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
因此：
$\dfrac{\arctan x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{3} + o(x^2)$

步骤 3：展开对数函数
将底数变形为 $1 + \left(-\dfrac{x^2}{3}\right) + o(x^2)$，并利用 $\ln(1 + \epsilon) \approx \epsilon$（当 $\epsilon \to 0$）：
$\ln \left(1 - \dfrac{x^2}{3} + o(x^2)\right) \approx -\dfrac{x^2}{3} + o(x^2)$

步骤 4：代入极限表达式
将上述结果代入 $\ln L$：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \left( -\dfrac{x^2}{3} + o(x^2) \right) = -\dfrac{1}{3}$

步骤 5：求原极限值
对 $\ln L$ 取指数得：
$L = e^{-1/3}$