证明:在n维向量空间中,如果α1.α2……αn线性无关,则任一向量β可以由α1.α2……αn线性表示

步骤 1：定义线性无关
在n维向量空间中，向量组α1, α2, ..., αn线性无关意味着不存在一组不全为零的数c1, c2, ..., cn，使得c1α1 + c2α2 + ... + cnαn = 0。

步骤 2：考虑向量β
任取向量β，考虑向量组α1, α2, ..., αn, β。如果β不能由α1, α2, ..., αn线性表示，那么向量组α1, α2, ..., αn, β线性无关。

步骤 3：线性无关的向量组的性质
在n维向量空间中，任意n+1个向量线性相关。因此，向量组α1, α2, ..., αn, β线性相关。

步骤 4：线性相关向量组的表示
由于α1, α2, ..., αn, β线性相关，存在一组不全为零的数c1, c2, ..., cn, c，使得c1α1 + c2α2 + ... + cnαn + cβ = 0。如果c = 0，则c1α1 + c2α2 + ... + cnαn = 0，这与α1, α2, ..., αn线性无关矛盾。因此，c ≠ 0。

步骤 5：β的线性表示
由于c ≠ 0，可以将上式变形为β = -(c1/c)α1 - (c2/c)α2 - ... - (cn/c)αn，即β可以由α1, α2, ..., αn线性表示。