证明:在n维向量空间中,如果α1.α2……αn线性无关,则任一向量β可以由α1.α2……αn线性表示

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性及基的性质，需要理解在n维向量空间中，任意n个线性无关的向量构成基，从而能线性表示任意向量。

解题核心思路：

1. 利用线性相关性的判定：在n维空间中，若向量组元素个数超过维数，则必然线性相关。
2. 通过矛盾排除法：假设存在无法被表示的向量β，将其与原向量组合并后分析线性相关性，推导出矛盾，从而证明β必可被表示。

破题关键点：

• 添加β后向量组的线性相关性：原向量组α₁,α₂,…,αₙ线性无关，但加入β后总个数为n+1，必线性相关。
• 系数分析：通过线性组合方程中系数是否为零，排除矛盾情况，最终解出β的表达式。

步骤1：构造扩展向量组
在n维向量空间中，原向量组α₁,α₂,…,αₙ线性无关。若添加任意向量β，得到新向量组α₁,α₂,…,αₙ,β。由于n+1个向量在n维空间中必线性相关，因此存在不全为零的系数c₁,c₂,…,cₙ,c，使得：
$c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n + c\beta = 0$

步骤2：分析系数c是否为零

• 若c=0：方程变为$c_1\alpha_1 + \cdots + c_n\alpha_n = 0$。由于α₁,…,αₙ线性无关，必有$c_1=\cdots=c_n=0$，但此时所有系数均为零，与“不全为零”矛盾。
• 因此c≠0，否则会导致矛盾。

步骤3：解出β的表达式
将方程变形为：
$c\beta = -\left(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n\right)$
两边同除以c（c≠0），得：
$\beta = -\frac{c_1}{c}\alpha_1 - \frac{c_2}{c}\alpha_2 - \cdots - \frac{c_n}{c}\alpha_n$
这表明β可由α₁,α₂,…,αₙ线性表示。