题目
求定积分(∫)_((1)/(sqrt(2)))^1(sqrt(1-(x)^2))/((x)^2)dx．
求定积分${∫}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}$$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$dx．
题目解答
答案
解：令x=sinα，α∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$
∴${∫}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}$$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$dx=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{cosα}{si{n}^{2}α}d（sinα）$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{1-si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α}dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}（\frac{1}{si{n}^{2}α}-1）dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{si{n}^{2}α}dα-{∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}1dα$
=$（-\frac{cosα}{sinα}）{|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}-\frac{π}{4}$
=1-$\frac{π}{4}$．
∴${∫}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}$$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$dx=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{cosα}{si{n}^{2}α}d（sinα）$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{1-si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α}dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}（\frac{1}{si{n}^{2}α}-1）dα$
=${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{si{n}^{2}α}dα-{∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}1dα$
=$（-\frac{cosα}{sinα}）{|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}-\frac{π}{4}$
=1-$\frac{π}{4}$．
解析
步骤 1：变量替换
令$x = \sin\alpha$，其中$\alpha \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$。这样，$dx = \cos\alpha d\alpha$，并且当$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$时，$\alpha = \frac{\pi}{4}$；当$x = 1$时，$\alpha = \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：代入并简化
将$x = \sin\alpha$和$dx = \cos\alpha d\alpha$代入原积分，得到${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha}\cos\alpha d\alpha$。由于$\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \cos\alpha$，积分简化为${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}d\alpha$。
步骤 3：进一步简化
将$\cos^2\alpha$表示为$1-\sin^2\alpha$，得到${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}d\alpha$。这可以进一步分解为${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^2\alpha}d\alpha - {∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}1d\alpha$。
步骤 4：计算积分
第一个积分${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^2\alpha}d\alpha$可以表示为$-\cot\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$，第二个积分${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}1d\alpha$等于$\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$。
步骤 5：计算结果
将步骤4的结果代入，得到$-\cot\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$。计算得到$1 - \frac{\pi}{4}$。
令$x = \sin\alpha$，其中$\alpha \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$。这样，$dx = \cos\alpha d\alpha$，并且当$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$时，$\alpha = \frac{\pi}{4}$；当$x = 1$时，$\alpha = \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：代入并简化
将$x = \sin\alpha$和$dx = \cos\alpha d\alpha$代入原积分，得到${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha}\cos\alpha d\alpha$。由于$\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \cos\alpha$，积分简化为${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}d\alpha$。
步骤 3：进一步简化
将$\cos^2\alpha$表示为$1-\sin^2\alpha$，得到${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}d\alpha$。这可以进一步分解为${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^2\alpha}d\alpha - {∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}1d\alpha$。
步骤 4：计算积分
第一个积分${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^2\alpha}d\alpha$可以表示为$-\cot\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$，第二个积分${∫}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}1d\alpha$等于$\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$。
步骤 5：计算结果
将步骤4的结果代入，得到$-\cot\alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \alpha{|}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$。计算得到$1 - \frac{\pi}{4}$。