(1)2+3+4+…+(n-1)
题目解答
答案
该数列是一个等差数列，首项 $a = 2$，末项 $l = n-1$，项数 $k = n-2$。利用等差数列求和公式 $S = \frac{k}{2} \times (a + l)$，代入得：
$S = \frac{n-2}{2} \times (2 + n-1) = \frac{n-2}{2} \times (n+1) = \frac{(n-2)(n+1)}{2} = \frac{n^2 - n - 2}{2}$
或者，可视为前 $n-1$ 个正整数和减去 $1$：
$S = \frac{(n-1)n}{2} - 1 = \frac{n^2 - n - 2}{2}$
答案： $\boxed{\frac{n^2 - n - 2}{2}}$
解析
本题考查等差数列求和公式的应用。解题思路有两种：
思路一
观察原式$2 + 3 + 4 + \cdots + (n - 1)$，可以发现这是一个等差数列，首项$a_1 = 2$，末项$a_{n - 2}=n - 1$。
根据等差数列的项数公式$项数=末项 - 首项+1$，可得项数$k=(n - 1)-2 + 1=n - 2$。
再根据等差数列求和公式$S=\frac{k}{2}\times(a_1 + a_{k})$（其中$S$为前$k$项和，$a_1$为首项，$a_{k}$为末项），将$a_1 = 2$，$a_{n - 2}=n - 1$，$k=n - 2$代入可得：
$\begin{align*}S&=\frac{n - 2}{2}\times(2+(n - 1))\\&=\frac{n - 2}{2}\times(n + 1)\\&=\frac{(n - 2)(n + 1)}{2}\\&=\frac{n^2 + n - 2n - 2}{2}\\&=\frac{n^2 - n - 2}{2}\end{align*}$
思路二
我们知道前$m$个正整数的和公式为$S_m=\frac{m(m + 1)}{2}$，那么前$n - 1$个正整数的和为$S_{n - 1}=\frac{(n - 1)n}{2}$。
而原式$2 + 3 + 4 + \cdots + (n - 1)$相当于前$n - 1$个正整数的和减去$1$，即：
$\begin{align*}S&=\frac{(n - 1)n}{2}-1\\&=\frac{n^2 - n}{2}-1\\&=\frac{n^2 - n - 2}{2}\end{align*}$