题目
2.以下 不是 n阶方阵A可逆的充分必要条件的是 ()-|||-(A)A等价于n阶单位阵 (B)A的n个列向量线性无关-|||-(C)A可表示为若干初等矩阵的乘积 (D) Ax=0 有非零解
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方阵可逆的充分必要条件
方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式不为零，即$|A| \neq 0$。这等价于A的秩为n，即$rank(A) = n$。这意味着A的n个列向量线性无关，A等价于n阶单位阵，A可表示为若干初等矩阵的乘积。
步骤 2：分析选项
(A) A等价于n阶单位阵：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A等价于n阶单位阵意味着A可以通过初等变换变为单位阵，这说明A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(B) A的n个列向量线性无关：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A的n个列向量线性无关意味着A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(C) A可表示为若干初等矩阵的乘积：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A可表示为若干初等矩阵的乘积意味着A可以通过初等变换变为单位阵，这说明A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(D) Ax=0 有非零解：这是方阵A不可逆的充分必要条件，因为Ax=0 有非零解意味着A的秩小于n，即$rank(A) < n$，这说明A的行列式为零，即$|A| = 0$。
步骤 3：确定答案
根据以上分析，选项D不是方阵A可逆的充分必要条件，而是方阵A不可逆的充分必要条件。
方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式不为零，即$|A| \neq 0$。这等价于A的秩为n，即$rank(A) = n$。这意味着A的n个列向量线性无关，A等价于n阶单位阵，A可表示为若干初等矩阵的乘积。
步骤 2：分析选项
(A) A等价于n阶单位阵：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A等价于n阶单位阵意味着A可以通过初等变换变为单位阵，这说明A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(B) A的n个列向量线性无关：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A的n个列向量线性无关意味着A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(C) A可表示为若干初等矩阵的乘积：这是方阵A可逆的充分必要条件之一，因为A可表示为若干初等矩阵的乘积意味着A可以通过初等变换变为单位阵，这说明A的秩为n，即$rank(A) = n$。
(D) Ax=0 有非零解：这是方阵A不可逆的充分必要条件，因为Ax=0 有非零解意味着A的秩小于n，即$rank(A) < n$，这说明A的行列式为零，即$|A| = 0$。
步骤 3：确定答案
根据以上分析，选项D不是方阵A可逆的充分必要条件，而是方阵A不可逆的充分必要条件。