题目

A, B 均为 n 阶方阵，下面等式一定成立的是 ( )(A) AB = BA(B) (A + B)^T = A^T + B^T(C) (A + B)^-1 = A^-1 + B^-1(D) (AB)^-1 = A^-1 B^-1

$A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，下面等式一定成立的是 ( ) (A) $AB = BA$ (B) $(A + B)^T = A^T + B^T$ (C) $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ (D) $(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$

题目解答

答案

我们来逐项分析题目中给出的四个选项，判断哪一个一定成立。已知 $ A $ 和 $ B $ 均为 $ n $ 阶方阵。

选项 (A): $ AB = BA $

这个等式表示矩阵乘法的交换律。

但矩阵乘法一般不满足交换律，即 $ AB $ 不一定等于 $ BA $。
例如，取：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

计算得：

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

显然 $ AB \ne BA $。

所以，(A) 不一定成立。

选项 (B): $ (A + B)^T = A^T + B^T $

这是矩阵转置的一个基本性质。

根据转置的运算法则：

$(A + B)^T = A^T + B^T$

这个等式对任意两个同阶矩阵都成立，不需要任何额外条件（如可逆、对称等）。

所以，(B) 一定成立。

选项 (C): $ (A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1} $

这个等式表示“和的逆等于逆的和”。

这是错误的，矩阵的逆运算不满足这种线性性质。

首先，即使 $ A $ 和 $ B $ 都可逆，$ A + B $ 也不一定可逆。
其次，即使 $ A + B $ 可逆，一般也有：

$(A + B)^{-1} \ne A^{-1} + B^{-1}$

举个反例：

取 $ A = I $，$ B = I $，都是单位矩阵，显然可逆。

则：

  • $ A + B = 2I $
  • $ (A + B)^{-1} = (2I)^{-1} = \frac{1}{2}I $
  • $ A^{-1} + B^{-1} = I + I = 2I $

显然 $ \frac{1}{2}I \ne 2I $

所以 (C) 不成立。

选项 (D): $ (AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1} $

矩阵乘积的逆的正确公式是：

$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

注意顺序是反的。

而选项中写的是 $ A^{-1} B^{-1} $，顺序不对，一般情况下：

$A^{-1} B^{-1} \ne B^{-1} A^{-1}$

除非 $ A^{-1} $ 和 $ B^{-1} $ 可交换，但这不是普遍成立的。

所以 (D) 不成立。

结论：

四个选项中，只有 (B) 一定成立。

答案：

$\boxed{\text{(B) } (A + B)^T = A^T + B^T}$

解析

本题考查矩阵的基本运算性质，包括矩阵的转置、加法、乘法以及逆矩阵的运算规则。解题的核心思路是：

  1. 矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$；
  2. 转置运算对加法和标量乘法线性，即 $(A+B)^T = A^T + B^T$；
  3. 逆矩阵的运算规则：乘积的逆矩阵需逆序相乘，即 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，而非 $A^{-1}B^{-1}$；
  4. 矩阵的和的逆矩阵不等于逆矩阵的和，即 $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$。

选项 (A): $AB = BA$

矩阵乘法一般不满足交换律。例如：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
计算得：
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
显然 $AB \neq BA$，因此选项 (A) 不一定成立。

选项 (B): $(A + B)^T = A^T + B^T$

根据转置运算的线性性质，对任意同阶矩阵 $A$ 和 $B$，均有：
$(A + B)^T = A^T + B^T$
该等式无需额外条件（如可逆、对称等），因此选项 (B) 一定成立。

选项 (C): $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$

矩阵的和的逆矩阵不等于逆矩阵的和。例如：
取 $A = I$，$B = I$（均为单位矩阵），则：
$A + B = 2I \quad \Rightarrow \quad (A + B)^{-1} = \frac{1}{2}I$
而：
$A^{-1} + B^{-1} = I + I = 2I$
显然 $\frac{1}{2}I \neq 2I$，因此选项 (C) 不成立。

选项 (D): $(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$

乘积的逆矩阵需逆序相乘，正确公式为：
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
而选项中写为 $A^{-1}B^{-1}$，顺序错误。例如：
取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则：
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
而：
$A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
虽然在此例中结果相同，但一般情况下 $A^{-1}B^{-1} \neq B^{-1}A^{-1}$，因此选项 (D) 不一定成立。