题目
简答题（共10题，100.0分）1.（10.0分）1. 求不定积分int(dx)/(1+sqrt(x)+sqrt(1+x)).
简答题（共10题，100.0分）
1.（10.0分）
1. 求不定积分$\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$.
题目解答
答案
令 $t = \sqrt{x} + \sqrt{1 + x}$，则 $t - \sqrt{x} = \sqrt{1 + x}$。平方得 $t^2 - 2t\sqrt{x} + x = 1 + x$，解得 $\sqrt{x} = \frac{t^2 - 1}{2t}$。
求导得 $dx = \frac{t^4 - 1}{2t^3} dt$。
代入原积分：
\[
\int \frac{dx}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} = \frac{1}{2} \int \frac{t^4 - 1}{t^3(1 + t)} dt = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t^3}\right) dt
\]
积分得：
\[
\frac{1}{2} \left[ t - \ln |t| - \frac{1}{t} + \frac{1}{2t^2} \right] + C
\]
代回 $t = \sqrt{x} + \sqrt{1 + x}$，得：
\[
\boxed{\sqrt{x} + \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{x}}{2} \sqrt{1 + x} - \frac{1}{2} \ln (\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}) + C}
\]
解析
本题主要考察不定积分的计算，，采用换元积分法简化被积函数。具体步骤如下：
步骤1：换元简化被积函数
观察被积函数含$\sqrt{x}$和$\sqrt{1+x}$，令$t = \sqrt{x} + \sqrt{1+x}$，目标是用t表示dx和分母$1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}$。
- 由$t = \sqrt{x} + \sqrt{1+x}}$，得$t - \sqrt{x} = \sqrt{1+x}$，两边平方：
$t^2 - 2t\sqrt{x} + x = 1 + x$，化简得$\sqrt{x} = \frac{t^2 - 1}{2t}$。 - 分母$1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x} = 1 + t$。
步骤2：计算dx对$\sqrt{x} = \frac{t^2 -1}{2t}$求导：
$ \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2t \cdot 2t - (t^2 -1) \cdot 2}{(2t)^2} $（商的导数公式），整理得$dx = \frac{t^部分部分分式分解：
$\frac{t^4 -1}{t^3(1+t)} = \frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t^3(1+t)} = \frac{(t-1)(t+1)^2}{t^3(1+t)} = \frac{(t-1)(t+1)}{t^3} = \frac{t^2 -1}{t^3} = 1 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t^3}$。
步骤4：积分并代回t对分解后的分式积分：
$\int (1 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t^3})dt = t - \ln|t| - \frac{1}{t} + \frac{1}{2t^2} + C$。
乘以$\frac{1}{2}$后，将$t = \sqrt{x} + \sqrt{1+x}$和$\sqrt{x} = \frac{t^2 -1}{2t}$代回，化简得最终结果。