题目
计算极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^xsin tdt}({x)^2} ()-|||-A.1 B. 1/2 C.0 D. -1-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty }{\infty }$，那么 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：求导
分子是积分 $\int _{0}^{x}\sin tdt$，根据微积分基本定理，其导数为 $\sin x$。分母是 $x^2$，其导数为 $2x$。因此，原极限可以转化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{2x}$。
步骤 3：应用极限公式
我们知道 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{2x}=\dfrac {1}{2}$。
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty }{\infty }$，那么 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：求导
分子是积分 $\int _{0}^{x}\sin tdt$，根据微积分基本定理，其导数为 $\sin x$。分母是 $x^2$，其导数为 $2x$。因此，原极限可以转化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{2x}$。
步骤 3：应用极限公式
我们知道 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{2x}=\dfrac {1}{2}$。