题目
3. 设某种商品每天生产的数量 x ( 件 ) 与其总成本 C ( 元 ) 的关系为 C ( x ) = 0.2 x² + 2 x + 20 ，如果这种商品的销售单价为 18 元，且产品可以全部售出，求总利润函数 L ( x ) ，并求每天生产多少件产品时才能获得最大利润？最大利润是多少？
3. 设某种商品每天生产的数量 x ( 件 ) 与其总成本 C ( 元 ) 的关系为 C ( x ) = 0.2 x² + 2 x + 20 ，如果这种商品的销售单价为 18 元，且产品可以全部售出，求总利润函数 L ( x ) ，并求每天生产多少件产品时才能获得最大利润？最大利润是多少？
题目解答
答案
解：总利润=总售价-总成本，
当 x=40 时，L(x)最大，为 300 元。
答：总利润函数为
每天生产40件产品时能获得最大利润，最大利润是300元。
解析
步骤 1：确定总利润函数
总利润函数 L(x) 可以通过总售价减去总成本来计算。总售价为销售单价乘以销售数量，即 18x。总成本为 C(x) = 0.2x² + 2x + 20。因此，总利润函数 L(x) = 18x - C(x)。
步骤 2：计算总利润函数
将总成本函数 C(x) 代入总利润函数 L(x) 中，得到 L(x) = 18x - (0.2x² + 2x + 20)。化简后得到 L(x) = -0.2x² + 16x - 20。
步骤 3：求最大利润
为了求出最大利润，我们需要找到 L(x) 的最大值。L(x) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的 x 坐标为 x = -b / (2a)，其中 a = -0.2，b = 16。代入计算得到 x = 40。将 x = 40 代入 L(x) 中，得到最大利润 L(40) = -0.2(40)² + 16(40) - 20 = 300。
总利润函数 L(x) 可以通过总售价减去总成本来计算。总售价为销售单价乘以销售数量，即 18x。总成本为 C(x) = 0.2x² + 2x + 20。因此，总利润函数 L(x) = 18x - C(x)。
步骤 2：计算总利润函数
将总成本函数 C(x) 代入总利润函数 L(x) 中，得到 L(x) = 18x - (0.2x² + 2x + 20)。化简后得到 L(x) = -0.2x² + 16x - 20。
步骤 3：求最大利润
为了求出最大利润，我们需要找到 L(x) 的最大值。L(x) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的 x 坐标为 x = -b / (2a)，其中 a = -0.2，b = 16。代入计算得到 x = 40。将 x = 40 代入 L(x) 中，得到最大利润 L(40) = -0.2(40)² + 16(40) - 20 = 300。