题目
3.[填空题]9.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)(σ>0)，且方程y²+4y+X=0无实根的概率为(1)/(2)，则μ=____.第1空：
3.[填空题]
9.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)(σ>0)，且方程y²+4y+X=0无实根的概率为$\frac{1}{2}$，则μ=____.
第1空：
题目解答
答案
为了确定正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的均值 $\mu$，已知二次方程 $ y^2 + 4y + X = 0 $ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$，我们首先分析二次方程无实根的条件。
二次方程 $ y^2 + 4y + X = 0 $ 的判别式 $\Delta$ 由下式给出：
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot X = 16 - 4X.
\]
为了使二次方程无实根，判别式必须为负：
\[
16 - 4X < 0 \implies 16 < 4X \implies 4 < X \implies X > 4.
\]
已知 $ X > 4 $ 的概率为 $\frac{1}{2}$。由于 $ X $ 服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，分布关于其均值 $\mu$ 对称。因此，$ X $ 大于均值 $\mu$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。这意味着：
\[
\mu = 4.
\]
因此，$\mu$ 的值为 $\boxed{4}$。
解析
步骤 1：分析方程无实根的条件
方程 $y^2 + 4y + X = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot X = 16 - 4X$。为了使方程无实根，判别式必须为负，即 $16 - 4X < 0$，从而得到 $X > 4$。
步骤 2：确定概率条件
已知 $X > 4$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，分布关于其均值 $\mu$ 对称。因此，$X$ 大于均值 $\mu$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。
步骤 3：确定均值 $\mu$
由于 $X > 4$ 的概率为 $\frac{1}{2}$，且正态分布关于均值对称，可以得出 $X$ 的均值 $\mu$ 必须等于 4。
方程 $y^2 + 4y + X = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot X = 16 - 4X$。为了使方程无实根，判别式必须为负，即 $16 - 4X < 0$，从而得到 $X > 4$。
步骤 2：确定概率条件
已知 $X > 4$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，分布关于其均值 $\mu$ 对称。因此，$X$ 大于均值 $\mu$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。
步骤 3：确定均值 $\mu$
由于 $X > 4$ 的概率为 $\frac{1}{2}$，且正态分布关于均值对称，可以得出 $X$ 的均值 $\mu$ 必须等于 4。