9、设函数f(x,y)=}xysin(1)/(sqrt(x^2)+y^(2)),x^2+y^2neq00,x^2+y^2=0，则下列结论不成立的是（） (A.)f(x,y)在(0,0)处的极限存在 (B.)f(x,y)在(0,0)处连续 (C.)f(x,y)在(0,0)处的偏导数存在 (D.)f(x,y)在(0,0)处不可微

为了确定哪个结论不成立，我们需要分析函数 $ f(x, y) $ 在点 $(0,0)$ 处的性质。函数定义为： \[ f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & \text{如果 } x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & \text{如果 } x^2 + y^2 = 0 \end{cases} \] ### (A) $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处的极限存在 我们需要找到 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$。对于 $(x, y) \neq (0,0)$，我们有： \[ f(x, y) = xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 由于 $\sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间，我们可以写： \[ -|xy| \leq xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq |xy| \] 当 $(x, y) \to (0,0)$ 时，$ |xy| \to 0 $。根据挤压定理，我们有： \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0 \] 因此，$ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处的极限存在，且等于 0。结论 (A) 成立。 ### (B) $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处连续 为了检查连续性，我们需要验证： \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0,0) \] 从上一部分，我们知道 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = 0$。根据函数的定义，$ f(0,0) = 0 $。因此，函数在 $(0,0)$ 处连续。结论 (B) 成立。 ### (C) $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处的偏导数存在 我们需要找到偏导数 $ f_x(0,0) $ 和 $ f_y(0,0) $。偏导数 $ f_x(0,0) $ 定义为： \[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 0 \cdot \sin \frac{1}{\sqrt{h^2 + 0^2}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0 \] 同样，偏导数 $ f_y(0,0) $ 定义为： \[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 \cdot k \cdot \sin \frac{1}{\sqrt{0^2 + k^2}} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} 0 = 0 \] 因此，偏导数 $ f_x(0,0) $ 和 $ f_y(0,0) $ 都存在，且等于 0。结论 (C) 成立。 ### (D) $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处不可微 为了检查可微性，我们需要验证： \[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(0+h,0+k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 \] 代入已知值，我们得到： \[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk \sin \frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}} - 0 - 0 \cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk \sin \frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}}}{\sqrt{h^2 + k^2}} \] 设 $ r = \sqrt{h^2 + k^2} $。则 $ h = r \cos \theta $ 和 $ k = r \sin \theta $，极限变为： \[ \lim_{r \to 0} \frac{(r \cos \theta)(r \sin \theta) \sin \frac{1}{r}}{r} = \lim_{r \to 0} r \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{r} \] 由于 $\sin \frac{1}{r}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间，我们有： \[ -|r \cos \theta \sin \theta| \leq r \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{r} \leq |r \cos \theta \sin \theta| \] 当 $ r \to 0 $ 时，$ |r \cos \theta \sin \theta| \to 0 $。根据挤压定理，我们有： \[ \lim_{r \to 0} r \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{r} = 0 \] 因此，函数在 $(0,0)$ 处可微。结论 (D) 不成立。 正确答案是 $\boxed{D}$。