求函数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶偏导数的计算以及利用二阶判别法判断极值的存在性。

解题核心思路：

1. 求驻点：通过解方程组$f_x(x,y)=0$和$f_y(x,y)=0$，找到所有可能的极值点。
2. 计算二阶偏导数：求出$f_{xx}$、$f_{xy}$、$f_{yy}$，构造二阶判别式$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。
3. 判断极值：对每个驻点，根据$D$的符号及$f_{xx}$的符号，确定是否存在极值及其类型。

破题关键点：

• 正确求解偏导数，尤其是二阶偏导数。
• 准确代入驻点坐标计算判别式$D$，避免符号错误。
• 分类讨论每个驻点的判别结果，排除非极值点。

求驻点

1. 求一阶偏导数：

   • $f_x = 3x^2 + 6x - 9$
   • $f_y = -3y^2 + 6y$

2. 解方程组：

   • $3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$或$x = -3$
   • $-3y^2 + 6y = 0 \Rightarrow y(y - 2) = 0 \Rightarrow y = 0$或$y = 2$

   驻点为：$(1,0)$、$(1,2)$、$(-3,0)$、$(-3,2)$。

计算二阶偏导数

• $f_{xx} = 6x + 6$
• $f_{xy} = 0$
• $f_{yy} = -6y + 6$

判断极值

点$(1,0)$

• $f_{xx}(1,0) = 12$，$f_{yy}(1,0) = 6$
• $D = 12 \times 6 - 0 = 72 > 0$，且$f_{xx} > 0$，极小值。
• $f(1,0) = -5$

点$(1,2)$

• $f_{xx}(1,2) = 12$，$f_{yy}(1,2) = -6$
• $D = 12 \times (-6) - 0 = -72 < 0$，非极值点。

点$(-3,0)$

• $f_{xx}(-3,0) = -12$，$f_{yy}(-3,0) = 6$
• $D = (-12) \times 6 - 0 = -72 < 0$，非极值点。

点$(-3,2)$

• $f_{xx}(-3,2) = -12$，$f_{yy}(-3,2) = -6$
• $D = (-12) \times (-6) - 0 = 72 > 0$，且$f_{xx} < 0$，极大值。
• $f(-3,2) = 31$