求下列微分方程的通解:-|||-'+ycos x=(e)^-sin x.

考查要点：本题主要考查一阶线性非齐次微分方程的解法，涉及齐次方程的通解求解和常数变易法的应用。

解题核心思路：

1. 分离变量法求解对应的齐次方程，得到通解形式；
2. 常数变易法将齐次解中的常数替换为关于$x$的函数，代入原方程求解特解；
3. 叠加原理得到非齐次方程的通解。

破题关键点：

• 正确分离变量并积分求齐次解；
• 构造变易函数$u(x)$，代入原方程后化简方程求$u(x)$；
• 积分求特解并组合通解。

步骤1：求齐次方程的通解

齐次方程为：
$\frac{dy}{dx} + y \cos x = 0$
分离变量得：
$\frac{dy}{y} = -\cos x \, dx$
积分两边：
$\ln |y| = -\sin x + C_1$
整理得齐次通解：
$y = C e^{-\sin x} \quad (C = \pm e^{C_1})$

步骤2：用常数变易法求特解

将齐次解中的常数$C$替换为$x$的函数$u(x)$，设：
$y = u e^{-\sin x}$
计算导数：
$y' = u' e^{-\sin x} - u \cos x e^{-\sin x}$
代入原方程：
$u' e^{-\sin x} - u \cos x e^{-\sin x} + u e^{-\sin x} \cos x = e^{-\sin x}$
化简后得：
$u' e^{-\sin x} = e^{-\sin x}$
解得：
$u' = 1 \quad \Rightarrow \quad u = x + C$

步骤3：组合通解

将$u = x + C$代入$y = u e^{-\sin x}$，得通解：
$y = (x + C) e^{-\sin x}$