题目
(1)设系统由100个相互独立的部件组成.运行期间每个部件损坏的概率为0.1.至少有85个部件是完好时系统才能正常工作,求系统正常工作的概率.(Ф()=0.9522) (2)如果上述系统由n个部件组成,至少有80%的部件完好时系统才能正常工作.问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0.957(Ф(1.645)=0.95)
(1)设系统由100个相互独立的部件组成.运行期间每个部件损坏的概率为0.1.至少有85个部件是完好时系统才能正常工作,求系统正常工作的概率.(Ф()=0.9522) (2)如果上述系统由n个部件组成,至少有80%的部件完好时系统才能正常工作.问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0.957(Ф(1.645)=0.95)
题目解答
答案
正确答案:(1)设有X个部件完好,则X~B(100,0.9), ∴EX=90,DX=9, ∴P{系统正常工作}=P{X≥85}==0.952 2. (2)设有Y个部件完好,Y~B(n,0.9),∴EX=0.9n,DX=0.09n, ∴P{X≥0.8n}= 由题意,P(X≥0.8n)≥0.95,∴Ф()≥0.95,故≥1.645, 得,n≥24.35即n≥25. 涉及知识点:概率论与数理统计
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为系统中完好的部件数，则X服从二项分布B(100, 0.9)。因为每个部件损坏的概率为0.1，所以每个部件完好的概率为0.9。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望EX=100×0.9=90，方差DX=100×0.9×0.1=9。
步骤 3：利用中心极限定理近似计算
由于n=100较大，可以利用中心极限定理将二项分布近似为正态分布N(90, 9)。因此，系统正常工作的概率可以表示为P(X≥85)。将X标准化为Z=(X-90)/3，得到P(Z≥(85-90)/3)=P(Z≥-1.67)。根据标准正态分布表，P(Z≥-1.67)=1-P(Z≤-1.67)=1-Ф(-1.67)=1-Ф(1.67)=0.9522。
步骤 4：计算n的最小值
设Y为系统中完好的部件数，则Y服从二项分布B(n, 0.9)。根据题意，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作，即P(Y≥0.8n)≥0.95。利用中心极限定理，将二项分布近似为正态分布N(0.9n, 0.09n)。因此，P(Y≥0.8n)可以表示为P(Z≥(0.8n-0.9n)/√(0.09n))=P(Z≥-1.645)。根据标准正态分布表，P(Z≥-1.645)=Ф(1.645)=0.95。因此，(0.8n-0.9n)/√(0.09n)=-1.645，解得n≥24.35，即n≥25。
设X为系统中完好的部件数，则X服从二项分布B(100, 0.9)。因为每个部件损坏的概率为0.1，所以每个部件完好的概率为0.9。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望EX=100×0.9=90，方差DX=100×0.9×0.1=9。
步骤 3：利用中心极限定理近似计算
由于n=100较大，可以利用中心极限定理将二项分布近似为正态分布N(90, 9)。因此，系统正常工作的概率可以表示为P(X≥85)。将X标准化为Z=(X-90)/3，得到P(Z≥(85-90)/3)=P(Z≥-1.67)。根据标准正态分布表，P(Z≥-1.67)=1-P(Z≤-1.67)=1-Ф(-1.67)=1-Ф(1.67)=0.9522。
步骤 4：计算n的最小值
设Y为系统中完好的部件数，则Y服从二项分布B(n, 0.9)。根据题意，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作，即P(Y≥0.8n)≥0.95。利用中心极限定理，将二项分布近似为正态分布N(0.9n, 0.09n)。因此，P(Y≥0.8n)可以表示为P(Z≥(0.8n-0.9n)/√(0.09n))=P(Z≥-1.645)。根据标准正态分布表，P(Z≥-1.645)=Ф(1.645)=0.95。因此，(0.8n-0.9n)/√(0.09n)=-1.645，解得n≥24.35，即n≥25。